4.5相似三角形的性质及其应用 【知识点1】相似三角形的应用 1 【知识点2】作图-相似变换 1 【题型1】三角形的重心 2 【题型2】相似三角形的周长之比等于相似比 3 【题型3】相似三角形对应角的角平分线、中线之比等于相似比 3 【题型4】相似三角形的对应高线长之比等于相似比 4 【题型5】相似三角形中的动点问题 5 【题型6】相似三角形判定与性质的综合 7 【题型7】相似三角形的面积之比等于相似比的平方 8 【题型8】相似三角形性质的应用 9 【知识点1】相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 【知识点2】作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 【题型1】三角形的重心 【典型例题】三角形的重心是（ ） A.三角形三边上高线的交点 B.三角形三边上垂直平分线的交点 C.三角形三边上角平分线的交点 D.三角形三边上中线的交点 【举一反三1】用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片，而支起三角形卡片的点就是三角形的重心，那么重心是三角形（ ） A.三条中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条高线的交点 D.三边垂直平分线的交点 【举一反三2】三角形的重心是（ ） A.三角形三边上高线的交点 B.三角形三边上垂直平分线的交点 C.三角形三边上角平分线的交点 D.三角形三边上中线的交点 【举一反三3】一块均匀的不等边三角形的铁板，它的重心在（ ） A.三角形的三条角平分线的交点 B.三角形的三条高线的交点 C.三角形的三条中线的交点 D.三角形的三条边的垂直平分线的交点 【题型2】相似三角形的周长之比等于相似比 【典型例题】△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为( ) A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶16 【举一反三1】如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3，4及x，那么x的值( ) A. 只有一个 B. 可以有2个 C. 可以有3个 D. 无数个 【举一反三2】两个相似三角形的对应边分别是15 cm和23 cm，它们的周长相差40 cm，则这两个三角形的周长分别是( ) A. 75 cm，115 cm B. 60 cm，100 cm C. 85 cm，125 cm D. 45 cm，85 cm 【举一反三3】已知△ABC的三边之比为2∶3∶4，若△DEF与△ABC相似，且△DEF的最大边长为20，则△DEF的周长为_____． 【举一反三4】△ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64cm2，求：△A′B′C′的周长. 【题型3】相似三角形对应角的角平分线、中线之比等于相似比 【典型例题】如果两个相似三角形对应边的比是3∶4 ... ...
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