第一章 空间向量与立体几何（单元培优）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册

中小学教育资源及组卷应用平台 第一章 空间向量与立体几何 一．单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分） 1．（5分）已知平面α的一个法向量是（2，﹣1，1），α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是（　　） A．（4，2，﹣2） B．（2，0，4） C．（2，﹣1，﹣5） D．（4，﹣2，2） 2．（5分）若是平面α内的两个向量，则（　　） A．α内任一向量（λ，μ∈R） B．若存在λ，μ∈R，使，则λ＝μ＝0 C．若不共线，则空间任一向量（λ，μ∈R） D．若不共线，则α内任一向量（λ，μ∈R） 3．（5分）已知，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 4．（5分）已知空间三点A（1，0，3），B（﹣1，1，4），C（2，﹣1，3），若，且||，则点P的坐标为（　　） A．（4，﹣2，2） B．（﹣2，2，4） C．（4，﹣2，2）或（﹣2，2，4） D．（﹣4，2，﹣2）或（2，﹣2，4） 5．（5分）已知（1，2，3），（3，0，﹣1），，给出下列等式： ①||＝||； ②； ③ ④． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（5分）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC'的长为（　　） A． B． C． D． 7．（5分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2，则线段AO的长度为（　　） A． B． C． D． 8．（5分）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，则在单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AC与BC1之间的距离是（　　） A． B． C． D． 二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分） 9．（5分）在以下命题中，不正确的命题有（　　） A．||﹣||＝||是，共线的充要条件 B．若∥，则存在唯一的实数λ，使λ C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若22，则P，A，B，C四点共面 D．若{，，}为空间的一个基底，则{，，}构成空间的另一个基底 10．（5分）下列条件中，使点P与A，B，C三点一定共面的是（　　） A． B． C． D． 11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BC1上的动点，则下列结论中正确的是（　　） A．AC⊥BD1 B．A1P的最小值为 C．A1P∥平面ACD1 D．异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是[，] 12．（5分）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD为矩形，AB＝2，BC，侧棱长为3，设P为侧面AA1D1D所在平面内且与D不重合的任意一点，则直线BD1与直线PD所成角的余弦值可能为（　　） A． B． C． D． 三．填空题（每题5分，4题共20分） 13．（5分）已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且2，现用基组{，，}表示向量，有xyz，则x，y，z的值分别为 　 　 ． 14．（5分）下列关于空间向量的命题中，正确的有　 　 ． ①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则∥； ②若非零向量，，满足⊥，⊥，则有∥； ③若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面； ④若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底． 15．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，PD＝AB＝AD，Q为PC的中点，则直线PC与平面BDQ所成角的正弦值为 　 　 ． 16．（5分）如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM＝BN＝a（0＜a），则下列结论： ①CN＝ME； ②当a时，ME与CN相交； ③MN始终与平面BCE平行； ④异面直线AC与BF所成的角为45°． 正确的序号是 　 　 ． 四．解答题（17题10分，其余每题12分，7题共70分） 17．（10分）如图，在四棱锥P﹣AB ... ...