3.3.1抛物线及其标准方程 课件（共20张PPT）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

(课件网) 我们在哪些地方见过或研究过抛物线？ 1、初中时我们学过二次函数， 它的图象是抛物线； y x o 2、物理中研究的平抛运动和斜抛运动的轨迹是抛物线或抛物线的一部分，如投篮时篮球的运动轨迹； 3、实际生活中如桥梁的拱形、喷泉的纵截面都是抛物线。 进入抛物线的内部世界 §3.3.1抛物线及其标准方程 平面内一个动点M 到一个定点F 的距离和一条定直线l 的距离之比为常数e 1.当 01 时，点M的轨迹是什么形状？ 双曲线 3.当 e=1时，点M的轨迹会是什么形状呢？ 想一想 问题1：点M的轨迹是什么形状？ 问题2：定点F与直线l有着怎样的关系？ 定点F不在直线l上 抛物线 问题3：若定点F在直线l上，点M的轨迹又是什么？ 想一想 l F M ┑ 若定点F在直线l上，点M的轨迹是： 过定点F且垂直于定直线l的一条直线. 请同学们归纳抛物线的定义： 平面内与一个定点F和一条直线l(l不经过点F)的距离相等的点M的轨迹叫做抛物线. 点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线. F l M 焦 点 准线 抛物线的定义可以归结为： 一 动 三 定 想一想 类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何选择坐标系，建立抛物线的方程？ F M x x M M x y y y o o o 方案一 方案二 方案三 F M l H · · x y ①建系 如图，以过点且垂直于直线 的直线为轴, 垂足为 以的中点为坐标原点建立直角坐标系. K O ②设点 设是抛物线上任意一点，点到的距离 为．则焦点的坐标为,准线的方程为 ③列式 ④化简 由抛物线的定义，抛物线就是点的集合 所以=两边平方,整理得 ， 其中为正常数，它的几何意义是: 焦点到准线的距离． 方程 表示焦点在轴正半轴上的抛物线． 焦点坐标是:_____ 准线方程为:_____ 开口方向：_____ 向右 p的几何意义是：_____ 焦点到准线的距离(焦准距). 想一想 在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程，抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探究之后填写下表. 抛物线的开口可向右，向上，向左，向下，怎么得到对应的抛物线的标准方程呢？ x y o 图 形 焦点位置 轴的 正半轴上 轴的 负半轴上 轴的 正半轴上 轴的 负半轴上 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=-2px (p＞0) x2=2py (p＞0) x2=-2py (p＞0) 1.抛物线四种标准方程的共同特点： 想一想 （1）顶点为_____； （2）对称轴为_____； (3）p为大于0的常数，其几何意义表示_____； (4）准线与对称轴_____，垂足与焦点关于_____对称； （5）原点 与准线及焦点的距离都等于_____. 坐标原点 坐标轴 焦准距 垂直 原点 2.已知抛物线标准方程，如何确定抛物线焦点位置及开口方向？ ①焦点在一次项字母对应的坐标轴上. ②一次项系数的符号决定了抛物线的开口方向. 一：概念辨析 (1)平面内到定点距离与定直线距离相等的点的轨迹一定是抛物线. （ ） (2)若动点P到定点F(2,1)的距离等于它到定直线：2x+y-3=0 的距离相等，则动点P轨迹是一条抛物线. （ ） × √ 想一想 二次函数y=a (a 0)的图象为什么是抛物线？找出它的焦点坐标和准线方程. 例1.(1)已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程； (2)已知抛物线的焦点是，求它的标准方程. 二：例题讲解 解：(1)因为，抛物线的焦点在轴正半轴上， 所以它的焦点坐标是，准线方程是. (2)因为抛物线的焦点在轴负半轴上，且，， 所以抛物线的标准方程是 即学即练：根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)焦点坐标是F（0，1） (2)焦点在直线3x-4y-12=0上 (3) 抛物线过点A（-3，2） 解： (1)抛物线的方程是x2=4y (2)抛物线的方程是y2=16x或x2=-12y (3)当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时， 把A（-3，2）代入x2 =2py， ... ...