选修4－1 几何证明选讲 课时作业76 相似三角形的判定及有关性质 1. 如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，DE∥AC，EF⊥BC，＝，BD＝6，求FC的长． 解：由DE∥AC，＝，BD＝6，知DC＝4. 又EF∥AD，故＝，解得FD＝， 故FC＝FD＋DC＝. 2．已知△ABC中，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点P，求证： (1)△BPE∽△CPF； (2)△EFP∽△BCP. 证明：(1)∵BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E， ∴∠BFC＝∠CEB. 又∵∠CPF＝∠BPE，∴△CPF∽△BPE. (2)由(1)得△CPF∽△BPE，∴＝. 又∵∠EPF＝∠BPC，∴△EFP∽△BCP. 3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，求证： (1)AB·AC＝BC·AD； (2)AD3＝BC·CF·BE. 证明：(1)在Rt△ABC中，AD⊥BC， ∴S△ABC＝AB·AC＝BC·AD. ∴AB·AC＝BC·AD. (2)Rt△ADB中，DE⊥AB，由射影定理可得 BD2＝BE·AB，同理CD2＝CF·AC， ∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC. 又在Rt△BAC中，AD⊥BC，∴AD2＝BD·DC， ∴AD4＝BE·AB·CF·AC， 又AB·AC＝BC·AD. 即AD3＝BC·CF·BE. 4．(2016·南阳模拟)如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE＝AC，BD＝AB，点F在BC上，且CF＝BC. 求证： (1)EF⊥BC； (2)∠ADE＝∠EBC. 证明：设AB＝AC＝3a，则AE＝BD＝a，CF＝a. (1)＝＝，＝＝. 又∠C为公共角，故△BAC∽△EFC， 由∠BAC＝90°，∴∠EFC＝90°，∴EF⊥BC. (2)由(1)得EF＝a， 故＝＝，＝＝， ∴＝，∵∠DAE＝∠BFE＝90°， ∴△ADE∽△FBE，∴∠ADE＝∠EBC. 1．(2016·银川模拟)如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE的延长线交BC于F. (1)求的值． (2)若△BEF的面积为S1，四边形CDEF的面积为S2，求S1∶S2的值． 解：(1)过点D作DG∥BC，并交AF于G点， 因为E是BD的中点， 所以BE＝DE. 又因为∠EBF＝∠EDG，∠BEF＝∠DEG， 所以△BEF≌△DEG，则BF＝DG， 所以BF∶FC＝DG∶FC. 又因为D是AC的中点，则DG∶FC＝1∶2， 则BF∶FC＝1∶2，即＝. (2)若△BEF以BF为底，△BDC以BC为底， 则由(1)知BF∶BC＝1∶3， 又由BE∶BD＝1∶2可知h1∶h2＝1∶2， 其中h1，h2分别为△BEF和△BDC的高， 则＝×＝，则S1∶S2＝1∶5. 2．如图，在梯形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，EF∥AD，假设EF做上下平行移动． (1)若＝，求证：3EF＝BC＋2AD； (2)请你探究一般结论，即若＝，那么你可以得到什么结论？ 解：过点A作AH∥CD分别交EF，BC于点G，H. (1)证明：因为＝， 所以＝. 又EG∥BH，所以＝＝， 即3EG＝BH.又EG＋GF＝EG＋AD＝EF， 从而EF＝(BC－HC)＋AD， 所以EF＝BC＋AD， 即3EF＝BC＋2AD. (2)因为＝， 所以＝. 又EG∥BH，所以＝， 即EG＝BH. 所以EF＝EG＋GF＝EG＋AD＝(BC－AD)＋AD， 所以EF＝BC＋AD， 即(m＋n)EF＝mBC＋nAD. 课时作业77 直线与圆的位置关系 1．如图，AB是⊙O的直径，MN与⊙O切于点C，AC＝BC，则sin∠MCA＝_____． 解析：由弦切角定理得，∠MCA＝∠ABC， sin∠ABC＝＝＝＝. 答案： 2．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若＝，＝，则的值为_____． 解析：∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD，∴△PCB∽△PAD， ∴＝＝，∵＝，＝，∴＝. 答案： 3．如图，D是圆O的直径AB延长线上一点，PD是圆O的切线，P是切点，∠D＝30°，AB＝4，BD＝2，PA＝_____． ,) 解析：连接PO，因为PD是⊙O的切线，P是切点，∠D＝30°，所以∠POD＝60°，并且AO＝2，∠POA＝120°，PO＝2，在△POA中，由余弦定理知，PA＝2. 答案：2 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A、B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，若BC＝－1，则AC＝_____． ,) 解析：由题易知，∠C＝∠ABC＝72°，∠A＝∠DBC＝36°，所以△BCD∽△ACB，又易知BD＝AD＝BC，所以BC2＝CD·AC＝(AC－BC)·AC，解得AC＝2. ... ...
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