2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 导学案（3课时,含答案）高一数学人教A版必修第一册

2．3　二次函数与一元二次方程、不等式 2.3.1　二次函数与一元二次方程、不等式(1) 1. 经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的实际意义． 2. 能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3. 借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 活动一 一元二次不等式 在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题．对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢？先来看一个问题． 问题　园艺师打算在绿地上用栅栏围成一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少米？ 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式为ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 思考1 在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法．类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？ 活动二　探究二次函数的零点　 思考2 怎样从函数观点进一步解决一元二次方程 x2－12x＋20＝0根的问题？ 思考3 你能归纳二次函数零点的概念吗？ 思考4 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的零点是点吗？为什么？ 活动三 掌握二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 探究　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系： 当a＞0时，我们有： 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 思考5 对于活动一中不等式的解集是什么呢？ 思考6 若a＜0，则对应不等式的解集是什么呢？如何求解？ 活动四　掌握解一元二次不等式的方法　 例1　解下列不等式． (1) x2－7x＋12＞0； (2) －x2－2x＋3≥0； (3) x2－2x＋1＜0； (4) x2－2x＋2＞0. 解下列不等式． (1) 2x2－3x－2＞0； (2) x2－3x＋5＞0； (3) －6x2－x＋2≥0； (4) －4x2≥1－4x； (5) 2x2－4x＋7＜0； (6) x2－6x＋9＞0. 用图象法解一元二次不等式的步骤：求根，画图，找解．一元二次不等式的解集一定要写成集合的形式，尤其要注意“>”与“≥”，“<”与“≤”符号的区分． 例2　解下列不等式． (1) (x＋1)2＋3(x＋1)－4＞0； (2) x(x－2)＞8； (3) 1－3x＜x2. 活动五 掌握解分式不等式的方法 例3　解下列不等式． (1) ＞0； (2) ≤1. 解下列不等式． (1) ＜0； (2) ≤2. 分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组． 简单的分式不等式的解法 1. (2024桂林期末)不等式x2－2x－3<0的解集为(　　) A. {x|23} 2. (2025重庆九龙坡期末)“x>1”是“x2＋x－2>0”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. (多选)(2024温州月考)下列不等式是一元二次不等式的是(　　) A. x2>0 B. －x2－x≤5 C. mx2－5y<0 D. ax2＋bx＋c>0 4. (2024普陀期中)已知关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－20的解集是{x|3