3.1.1　函数的概念 导学案（2课时,含答案）高一数学人教A版必修第一册

3.1.1　函数的概念(1) 1. 在初中用变量之间的对应关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用. 2. 了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 3. 正确使用函数、区间符号． 活动一 探究函数的概念 在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具．例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l＝4x，而且对于每一个确定的x都有唯一的l与之对应，所以l是x的函数．这个函数与正比例函数y＝4x相同吗？又如，你能用已有的函数知识判断y＝x与y＝是否相同吗？要解决这些问题，就需要进一步学习函数的概念． 问题1　某“复兴号”高速列车加速到350 km/h 后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程s(单位：km)与运行时间t(单位：h)的关系可以表示为s＝350t.这里，t和s是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，s都存在唯一确定的值与之对应，所以s是t的函数． 思考1 根据对应关系s＝350t，可知这趟高速列车加速到350 km/h后，运行1 h就前进了350 km，这个说法正确吗？ 问题2　某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多6天．如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w(单位：元)是他工作天数d的函数吗？ 思考2 在问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？ 问题3　如图是某市某日的空气质量指数变化图．如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数的值I？你认为这里的I是t的函数吗？ 问题4　国际上常用恩格尔系数r(r＝×100%)反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表是我国城镇居民恩格尔系数变化情况，你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？ 年份y 2012 2013 2014 2015 2016 恩格尔系数r(%) 32.0 30.1 30.0 29.7 29.3 年份y 2017 2018 2019 2020 2021 恩格尔系数r(%) 28.6 27.7 27.6 29.2 28.6 思考3 上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？ 思考4 如何用集合语言和对应关系刻画函数？ 思考5 f(a)表示什么意思？f(a)与f(x)有什么区别？ 思考6 函数的值域与集合B什么关系？请你说出上述四个问题的值域？ 思考7 一次函数y＝ax＋b(a≠0)的定义域、对应关系和值域各是什么？请用函数定义描述这个函数． 思考8 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域、对应关系和值域各是什么？请用函数定义描述这个函数． 思考9 反比例函数y＝(k≠0)的定义域、对应关系和值域各是什么？请用函数定义描述这个函数． 例1　函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画同一类事物中的变量关系和变化规律．例如，正比例函数y＝kx(k≠0)可以用来刻画匀速运动中的路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等． 试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝x(10－x)来描述． 注意点： (1) 函数是非空数集到非空数集上的一种对应； (2) 符号“f：A→B”表示集合A到集合B的一个函数，它有三个要素：定义域、值域、对应关系，三者缺一不可； (3) 集合A中数的任意性，集合B中数的唯一性； (4) f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样； (5) f(x)是一个符号，绝对不能理解为f与x的乘积； (6) 在研究函数时，除用符号f(x)表示函数外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示． 活动二 区间的概念 设a，b是两个实数，而且a