3.3 幂 函 数 1. 通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数. 2. 体会数形结合、分类讨论等方法的应用. 3. 通过研究幂函数的有关性质，培养观察、分析、归纳的思维能力. 活动一 幂函数的概念 (1) 如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数； (2) 如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数； (3) 如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V＝b3，这里V是b的函数； (4) 如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c＝，这里c是S的函数（也可以表示为S）； (5) 如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v＝ km/s，即v＝t-1，这里v是t的函数. 思考1 上述(1)～(5)中函数的对应关系分别是什么？ 思考2 上述5个函数具有什么共同特征？ 一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． 思考3 判断一个函数是不是幂函数的标准是什么？ 例1 在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为 ． 只有在形式上完全符合幂函数的定义的式子，才是幂函数，否则就不是． 已知y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3是定义域为R的幂函数，求m，n的值． 活动二 幂函数的图象和性质 例2 写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性： (1) y＝x3； (2) y＝x； (3) y＝x-2. 思考4 在同一平面直角坐标系中画出下列函数：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x-1的图象． 思考5 观察函数图象并结合函数解析式，你能填写表格的内容吗？ 项目 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x-1 定义域 值域 奇偶性 单调性 思考6 通过图象和表你能发现什么规律？ 例3 求证：幂函数f(x)＝是增函数． 证明函数的单调性，一般是利用单调性的定义进行证明，证明的关键是通过变形，能够得出各因式的正负，从而能判断出f(x1)－f(x2)的正负． 求证：函数f(x)＝－x3＋1是减函数． 活动三 幂函数的性质的应用 例4 试比较下列各组数的大小： (1) 1.13，0.893； (2) 2.1，2，1.8； (3) 0.813，1，3.14. 比较两个幂值的大小要仔细观察它们的异同点，当指数相同底数不同时，要利用幂函数的单调性比较；当指数与底数都不同时，要通过增加一个数起桥梁作用进行比较． 比较下列各组数的大小： (1) ，； (2) 2-2，2.5-2； (3) 1.1-1，1.2-1； (4) 4.13，3.8-2，－1.92. 1. （2025徐州期末）若幂函数y＝(m＋1)xα的图象经过点(8，4)，则m＋α的值为( ) A. B. C. 2 D. 2. 已知函数f(x)＝g(x)＝f(－x)，则函数g(x)的图象大致是( ) A B C D 3. （多选）（2024银川期末）已知幂函数f(x)＝(m2＋m－1)x－m-1，m∈N*，则下列结论中正确的是( ) A. m＝1 B. 函数f(x)是偶函数 C. f(－2)f(a－1)时，求实数a的取值范围． 3．3 幂 函 数 【活动方案】 思考1：(1) p＝w (2) S＝a2 (3) V＝b3 (4) c＝S (5) v＝t-1 思考2：这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量；幂的指数都是常数． 思考3：满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为常数这三个条件，才是幂函数．如：y＝x，y＝x2，y＝x-1都是幂函数，但y＝3x2，y＝(2x)3，y＝都不是幂函数． 例1 1 因为y＝＝x-2，所以是幂函数；y＝2x2的系数是2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0(x≠0)的图象多了一个点(0，1), 所以常函 ... ...
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