4.3.1 对数的概念 1. 理解指数式和对数式之间的关系. 2. 理解对数的概念，能熟练地进行指数式和对数式的互化. 3. 了解自然对数和常用对数的概念以及对数恒等式. 活动一 对数、常用对数与自然对数的概念 在4.2.1的问题1中，通过指数幂运算，我们能从y＝1.11x中求出经过x年后B地景区的游客人次为2001年的倍数y.反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决？ 思考1 你能给对数下一个定义吗？ 思考2 在科学计算器上，有两个特殊符号“log”“ln ”，你知道它们表示的含义吗？ 活动二 指数式与对数式的互化 思考3 根据对数的定义，对数与指数间有什么关系？ 例1 将下列指数式化为对数式： (1) 24＝16； (2) 3-3＝； (3) 5a＝20； (4) ＝0.45. 例2 将下列对数式化为指数式： (1) log5125＝3； (2) lg 0.01＝－2； (3) ln 10＝2.303. 1. 掌握指数式与对数式的关系，即ax＝N x＝logaN. 2. 对数的定义是对数式和指数式互化的依据，在互化过程中应注意各自的位置及表示方式． 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1) 2-2＝； (2) 102＝100； (3) ea＝16； (4) 64－＝； (5) log381＝4； (6) logxy＝z. 活动三 利用对数定义求值 例3 求下列各式的值： (1) log264； (2) log927. 求下列各式的值： (1) log101 000； (2) log99； (3) log4128； (4) log41. 例4 求下列各式中的x的值： (1) log64x＝－； (2) logx8＝6； (3) lg 100＝x； (4) －ln e2＝x. 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解. 活动四 对数的基本性质 思考4 在对数式x＝logaN中，底数a和真数N的取值范围是什么，为什么？ 思考5 是不是所有的实数都有对数？为什么？ 思考6 根据对数的定义以及对数与指数的关系，你能求出loga1与logaa的值吗？ 思考7 已知a>0，a≠1，N＞0，b∈R. (1) logaa2＝ ，logaa5＝ ， logaa-3＝ ，logaa＝ ， 一般地，logaab＝ ，你能证明这个结论吗？ (2) 你能推出对数恒等式alogaN＝N吗？ 例5 求下列各式中x的值： (1) log2(log5x)＝0； (2) log3(lg x)＝1； (3) 81－log85＝x. 若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z＝ ． 1. 使式子log(3x－1)(2－x)有意义的x的取值范围是( ) A. (2，＋∞) B. （，2） C. （，）∪（，2） D. (－∞，2) 2. （2025北京大兴期末）方程log2x2＝1的解集为( ) A. {1} B. {－1，1} C. {} D. {－，} 3. （多选）（2025南充白塔中学月考）下列指数式与对数式的互化中，正确的是( ) A. e0＝1与ln 1＝0 B. 8－＝与log8＝－ C. log39＝2与9＝3 D. log77＝1与71＝7 4. （2025湖北期末）计算：＋31－log34＝ ． 5. 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1) log216＝4； (2)27＝－3； (3) logx＝3； (4) 53＝125； (5) 2-1＝. 4.3.1 对数的概念 【活动方案】 思考1：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数． 思考2：通常将以10为底的对数称为常用对数，并把log10N记为lg N． 在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln N. 故在科学计算器上，符号“log”表示进行常用对数运算，“ln ”表示进行自然对数运算． 思考3：当a＞0，且a≠1时，ax＝N x＝logaN.前者叫指数式，后者叫对数式． 例1 (1) log216＝4. (2) log3＝－3. (3) log520＝a. (4) 0.45＝b. 例2 (1) 53＝125. (2) 10-2＝0.01. (3) e2.303＝10. 跟踪训练 (1) log2＝－2. (2) lg 100＝2. (3) ln 16＝a. (4) log64＝ ... ...
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