4.3.2 对数的运算(1) 1. 掌握对数的运算性质，并掌握推导这些性质的依据和方法. 2. 弄清对数运算性质成立的条件，并能较灵活地运用性质解决问题. 活动一 对数运算性质 我们已知道，指数幂运算有相关的性质，那么，对数运算又有怎样的性质呢？ 思考1 指数幂运算有哪些性质？ 思考2 指数式与对数式的互化公式是怎样的？ 思考3 根据对数的定义及对数与指数的关系，你能解答下列问题吗？ (1) 设loga2＝m，loga3＝n，求am＋n的值； (2) 设logaM＝m，logaN＝n，试利用m，n表示loga(M·N). 在思考3的第(2)题中，我们得到loga(M·N)＝m＋n，又由logaM＝m，logaN＝n，进行m，n的代换后就得到对数的一条运算性质，即loga(M·N)＝logaM＋logaN. 思考4 同样地，由am÷an＝am－n和(am)n＝amn，可得到对数运算的其他性质：loga＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM（a>0，且a≠1，M>0，N>0，n∈R）.你能不能推导出来呢？ 上述证明运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形，然后再根据对数的定义将指数式化成对数式．对数运算性质可以用简易语言表达：“积的对数＝对数的和”“商的对数＝对数的差”“正数的n次方的对数＝正数的对数的n倍”．有时可逆用运算性质，如lg 5＋lg 2＝lg 10＝1. 例1 求下列各式的值： (1) log2(23×45)； (2) log5125. 这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值； 另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值． 要特别注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN. 求下列各式的值： (1) lg ； (2) log2(47×25). 例2 用ln x，ln y，ln z表示ln . 用logax，logay，logaz表示下列各式： (1) loga； (2) loga. 活动二 对数运算性质的应用 例3 已知lg 2＝a，lg 3＝b，求下列各式的值： (1) lg 12； (2) lg . 将待求式子用已知式子中的对数表示，关键是建立对数式底数与真数的联系，在运算过程中应注意运算性质的灵活运用． 已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，求下列各式的值（结果保留4位小数）： (1) lg 18； (2) lg . 活动三 利用对数运算性质求值或化简 例4 计算或化简下列各式： (1) (lg 2)2＋lg 2×lg 5＋lg 50； (2) log2（1＋＋）＋log2（1＋－）； (3) loga＋loga＋loga(a＞0，a≠1). 利用对数的运算性质解决问题的一般思路： (1) 把复杂的真数化简； (2) 正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商再化简； (3) 逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算法则，将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值． 计算下列各式的值： (1) lg －lg ＋lg ； (2) lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2. 1. （2025重庆部分区期末）若lg m－lg n＝1，则下列结论中正确的是( ) A. mn＝10 B. m－n＝10 C. 10m＝n D. m＝10n 2. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的小数记录法的数据为0.25，则其视力的五分记录法的数据约为（参考数据：lg 2≈0.3）( ) A. 4.4 B. 4.7 C. 4.9 D. 5.2 3. （多选）（2025福州闽侯县六中月考）下列等式中，不成立的是( ) A. log2(8－4)＝log28－log24 B. ＝log2 C. log223＝3log22 D. log2(8＋4)＝log28＋log24 4. （2025呼伦贝尔期末）8＋(lg 5)2＋lg 2lg 50＋|3－π|＝ ． 5. 计算： (1) eln 3＋log25； (2) lg 4＋lg 25＋9 ... ...
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