5.1.1 任 意 角 1. 了解任意角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义． 2. 能在规定范围内，找到与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角． 3. 能写出与任一已知角终边相同的角的集合，能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合． 活动一 了解任意角的概念及象限角 现实生活中随处可见超出0° ～360° 范围的角．例如，体操中有“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”这样的动作名称，这里不仅有超出0°～ 360° 范围的角，而且旋转的方向也不相同；又如，下图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．这样，OA绕点O旋转所成的角与O′B绕点O′旋转所成的角就会有不同的方向．因此，要准确地描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要知道旋转的方向，这就需要对角的概念进行推广． 思考1 初中是如何定义角的？ 思考2 旋转两周半是转了怎样的一个角？ 思考3 为了表示不同旋转方向所形成的角，是如何规定的？ 角的概念推广到了任意角，确定角的关键是旋转方向和旋转量的大小． 类型 定义 图示 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 射线从起始位置OA没有做任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零角 思考4 如何定义两个角相等？ 思考5 如何规定角的加法和角的减法？ 思考6 如果把一个角的顶点放在直角坐标系的原点，角的始边为x轴的非负半轴，那么角的终边的位置在坐标系中有几种情况？ 在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合． 象限角：终边在第几象限就是第几象限角； 轴线角：终边落在坐标轴上的角． 思考7 －300°，－150°，－60°，60°，210°，300°，420°角分别是第几象限角？其中哪些角的终边相同？ 思考8 将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应．反之，对于直角坐标系内任意一条射线OB （如图），以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？ 思考9 如何判断两个角的终边是否相同？ 1. 在平面直角坐标系内讨论角时，相等的角的终边一定相同，但终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍． 2. 任何一个与角α终边相同的角，都可以写成角α与整数个周角的和的形式． 活动二 终边相同的角的表示及象限角的判断 例1 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角. (1) 650°； (2) －150°； (3) －990°15′. 在0°～360°范围内，请指出与下列角的终边相同的角，并说出它们是第几象限角． (1) 430°； (2) 909°； (3) －60°； (4) －1 550°. 例2 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360°到720°间的角写出来． (1) 35°； (2) －21°； (3) 363°14′. 已知角α＝2 010°. (1) 把α改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角； (2) 求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°. 1. 将任意角化为α＋k·360°（k∈Z且0°≤α<360°）的形式，关键是确定k的值．可以用观察法（α的绝对值较小），也可用除法． 2. 要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值． 活动三 象限角的表示及其应用 例3 (1) 终边落在x轴的正半轴上的角的集合怎样表示？终边落在x轴的负半轴上的角的集合怎样表示？终边落在x轴上的角的集合怎样表示？ (2) 终边落在y轴的正半轴上的角的集合怎样表示？终边落在y轴的负半轴上的角的集合怎样表示？终边落在y轴上的角的集合怎样表示？ (3) 终边落在坐标轴上的角的集合怎样表示？ 如图所 ... ...
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