5.2.2　同角三角函数的基本关系 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第一册

5.2.2　同角三角函数的基本关系(1) 1. 掌握同角三角函数之间的基本关系式． 2. 能正确运用同角三角函数关系进行三角函数式的求值运算，初步掌握同角三角函数之间的基本关系式的应用． 活动一 探究同角三角函数的基本关系式 公式一表明终边相同的角的同一三角函数值相等，那么终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？ 因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系．由公式一可知，我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系. 思考1 设角α的终边与单位圆相交于点P，则点P的坐标是什么？ 思考2 在思考1的条件下，你能得到什么结论？ 思考3 由正切函数的定义，你能用sin α，cos α来表示tan α吗？ 同角三角函数的基本关系式： sin2α＋cos2α＝1，tanα＝. 注意点： (1) 同角三角函数关系式强调的是“同角”，跟角的表达形式无关，如sin22α＋cos22α＝1等． (2)在tan α＝中，α≠kπ＋(k∈Z). (3) sin2α是(sinα)2的简写，读作“sin α的平方”． 思考4 你能用三角函数的定义证明sin2α＋cos2α＝1，tanα＝吗？ 活动二　已知一个角的三角函数值，求另外两个三角函数值　 例1　已知sin α＝－，求cos α，tan α的值． 若sin α＝，求cos α，tan α的值． 例2　已知tan α＝，求sin α，cos α的值． 已知tan α＝－，且α是第二象限角，求sin α，cos α的值． 思考5 已知角α的一个三角函数值，如何求出其余两个三角函数值？有什么注意点？ 1. 若已知sin α（或cos α）的值，可以先应用关系式sin2α＋cos2α＝1，求得cosα（或sin α）的值，再由关系式tan α＝，求得tan α的值． 2. 若已知tan α＝m，可以先应用关系式tan α＝＝m得sin α＝m cos α，再结合sin2α＋cos2α＝1，求得cosα＝±，sin α＝±. 活动三　根据条件求值　 例3　已知tan α＝－，求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) sin2α－cos2α＋sinαcos α. 已知tan θ＝2，求下列各式的值： (1) ； (2) sin2θ＋sinθcos θ－2cos2θ； (3). 1. 已知tan α的值，求关于sin α，cos α的分式值的问题，有以下两种情况： (1) 若分子、分母中sin α，cos α的次数相同（称为齐次式），由cos α≠0，令分子、分母同除以cosnα(n∈N*)，将待求式化为关于tanα的表达式，再整体代入tan α的值求解． (2) 若待求式形如a sin2α＋b sinαcos α＋cos2α，注意可将分母1化为sin2α＋cos2α，通过进一步转化，变为关于tan α的表达式，然后再求值． 2. 若已知sin α与cos α的关系式，可以先求出tan α的值再求解，也可以直接代入求解． 1. （2024娄底期末）若cos α＝，且α为第一象限角，则tan α的值为(　　) A. B. － C. D. － 2. （2025惠州模拟）已知tan α＝－2，则的值为(　　) A. －3 B. － C. D. 3 3. （多选）（2024涟水一中月考）下列说法中，正确的有(　　) A. 若sin α＝，则cos α＝± B. 已知角α∈，若tan α＝3，则sin α＝－ C. 已知角α∈(0，π)，若cos α＝，则tan α＝ D. 对任意角α都有tan α＝ 4. （2025茂名期末）已知cos α＝，且α为第四象限角，则tan α＝　　　　． 5. 已知tan θ＝－. (1) 求的值； (2) 求sin2θ＋2sinθcos θ－3cos2θ的值． 5.2.2　同角三角函数的基本关系(2) 1.能运用同角三角函数之间的基本关系式进行简单的三角函数式的化简、求值，并从中了解一些三角运算的基本技巧． 2. 运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数恒等式的证明． 活动一 熟练掌握同角三角函数间的关系式的应用（求值） 同角三角函数的基本关系有哪些变形形式？ 例1　已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，求下列各式的值： (1) sin αcos α； (2) ... ...