山东省青岛市昌乐二中2025-2026学年高二上学期开学模拟监测数学试题(含解析)

山东省青岛市昌乐二中2025-2026学年高二上学期开学模拟监测 数学试题及答案解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数（其中为虚数单位），则（ ） . . . . 2.在四边形中，若，则“”是“四边形是菱形”的（ ） .充分不必要条件 .必要不充分条件 .既不充分也不必要条件 .充要条件 3.已知向量，.若，则（ ） . . . . 4.已知函数，则（ ） .在定义域内是增函数 .是奇函数 .的最小正周期为 .图象的一个对称中心是 5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴， 轴，，，则的原图形的面积为（ ） . . . . 6.已知函数为偶函数，则的值为（ ） . . . . 7.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四个面称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面，则它的外接球半径和内切球半径的比值为（ ） . . . . 8.如图，诶圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是（ ） .圆锥的侧面积为 .三棱锥的体积的最大值为 .的取值范围是 .若，为线段上的动点，则的最小值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） .若，，，则 .若，，则 .若，，则 .若，，则 10.在中，内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） .若，，，则只有一解 .若，则为钝角三角形 .若的外心为，，，则 .若，则的形状是直角三角形 11.如图，已知圆台形水杯盛有牛奶（不计厚度），杯口的直径为4，杯底的直径为2，杯高为4，当杯底水平放置时，牛奶面的高度为水杯高度的一半，若加入37颗大小相同的椰果（球形），椰果沉入杯底，牛奶恰好充满水杯，则（ ） .该水杯侧面积为 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT .该水杯里牛奶的体积为 .放入的椰果半径为 .该水杯外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知点在半径为2的同一球面上，且，，则三棱锥体积的最大值为 . 13.如图，在正方体中，，分别是棱的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是 . 14.如图所示的是某城市的一座纪念碑，一位学生为测量该纪念碑的高度，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点.现测得，，米，在点处测得碑顶的仰角为30°，则该同学通过测量计算出纪念碑高为 米.（保留根号） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知复数，，是虚数单位. （1）若是实系数一元二次方程的一个根，求实数和的值； （2）当为何值时，关于的二次方程有一个实根. 16.（15分）高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底面是正四棱柱的模型，并画出了如图所示的直观图.其中正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. （1）若，； （ⅰ）求该模型的体积； （ⅱ）求顶部正四棱锥的侧面积； （2）若顶部正四棱锥的侧棱长为6，当为多少时，底部正四棱柱的侧面积最大？并求出的最大值. 17.（15分）已知函数，将函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象. （1）求的单调递增区间； （2）在中，若，，求面积的最大值. 18.（17分）锐角的三个内角所对的边分别为，满足. （1）求角的大小及角的取值范围； （2）若，求的周长的取值范围； （3）若的外接圆的圆心为，且，求的取值范围. 19.（17分）任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗成立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，， 则，，且. 若令，则能导出复数乘方公式：. 请用以上知识解决以下问题： （1）试将写成三角形式； ... ...