课时分层训练(十五) 弧长及扇形面积的计算 知识点一 弧长的计算 1．图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线是一条圆弧如图2所示，圆弧的半径OA＝20 cm，圆心角∠AOB＝90°，则＝( B ) A．20π cm B．10π cm C．5π cm D．2π cm 2．已知扇形半径是9 cm，弧长为4π cm，则扇形的圆心角为( D ) A．20° B．40° C．60° D．80° 3．如图，在 ABCD中，∠B＝70°，BC＝4，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长是( D ) A．π B．π C．π D．π 4．《墨经》是中国古籍中最早讨论滑轮力学的著作．如图所示是书中记载的一个滑轮机械，称为“绳制”．若图中的定滑轮半径为6 cm，滑轮旋转了15°，则重物甲上升了 cm．(绳索粗细不计，且与滑轮之间无滑动，结果保留π) 知识点二 扇形面积的计算 5．圆心角为120°的扇形的弧长是6π，则此扇形的面积是( C ) A．12π B．24π C．27π D．54π 6．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，则阴影部分的面积是( C ) A．2π B．π C． D． 7．已知扇形的面积为24π cm2，圆心角为216°，则该扇形的弧长是 cm． 8．如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为 π－2 ． 9．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB′C′，则的长为( A ) A．π B． C．7 D．6 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，以点A为圆心、AD长为半径画弧，交边BC于点E，连接AE，则的长为( C ) A． B．π C． 11．如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个相邻刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为( B ) A．π－ π－ C．π－2 π－ 12．如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都是3 cm，则图中的三个扇形(阴影部分)的面积之和为 π cm2． 第12题图 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AC＝1，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为 ． 第13题图 14．如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，C为劣弧的中点，CE为⊙O的切线，交AD于点E，连接AC． (1)求证：CE⊥AD； (2)若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积． (1)证明：如图1，连接BF，OC． 图1 ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°，即BF⊥AD． ∵CE是⊙O的切线，OC是⊙O的半径， ∴OC⊥CE． ∵C为劣弧 的中点， ∴OC⊥BF．∴BF∥CE．∴CE⊥AD． (2)解：如图2，连接OF，OC，CF． 图2 ∵OA＝OC，∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°． ∵C为劣弧的中点， ∴＝．∴∠FOC＝∠BOC＝60°． ∵OF＝OC，∴∠OCF＝∠COB． ∴CF∥AB． ∴S△ACF＝S△COF．∴S阴影部分＝S扇形COF． ∵AB＝4，∴FO＝OC＝OB＝2． ∴S扇形COF＝＝π， 即阴影部分的面积为π． 【创新运用】 15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E是斜边AC上一点，以AE为直径的⊙O经过点D，交AB于点F，连接DF． (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若BD＝5，tan ∠ADB＝，求图中阴影部分的面积．(结果保留π) (1)证明：如图，连接OD． ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA． ∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠BAD． ∴∠ODA＝∠BAD．∴OD∥AB． ∴∠ODC＝∠B＝90°．∴半径OD⊥BC于点D． ∴BC是⊙O的切线． (2)解：如图，连接 OF，DE． ∵∠B＝90°，tan ∠ADB＝， ∴∠ADB＝60°．∴∠BAD＝30°． ∵BD＝5，∴AD＝2BD＝10． ∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°． ∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠BAD＝30°． 在 Rt△ADE 中，AD＝10， cos ∠DAE＝＝， ∴AE＝．∴OA＝AE＝． ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠BAD＝60°． ∵OA＝OF， ∴△AOF 是等边三角形．∴∠AOF＝60°． ∵OD∥AB，∴S△ADF＝S△AOF． ∴S阴影＝S扇形OAF＝＝． 6/6 ... ...
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