思想方法集锦 方法一 整体法 1．(4分)整体代入是数学中常用的方法．例如，已知3a－b＝2，求代数式6a－2b－1的值．可以这样解：6a－2b－1＝2(3a－b)－1＝2×2－1＝3．根据此方法，解决问题：若x＝2是关于x的一元一次方程ax＋b＝3的解，则代数式8a＋4b－2的值是( D ) A．4 B．6 C．8 D．10 2．(4分)把(2a＋b)看成一个整体，则3(2a＋b)－4(2a＋b)＋(2a＋b)的化简结果是( D ) A．(2a＋b) B．2(2a＋b) C．－(2a＋b) D．0 3．(12分)理解与思考：整体代入是数学学习的一种思想方法． 例如，若a＋b＝6，求18－2a－2b的值． 我们将a＋b＝6作为一个整体代入，则原式＝18－2×6＝6． 仿照上面的方法，解答下面的问题： (1)若a＋b＝3，求2(a＋b)－4a－4b＋21的值； (2)若a2＋2ab＝20，b2＋2ab＝8，求a2＋2b2＋6ab的值； (3)当x＝2 024时，代数式ax5＋bx3＋cx－5的值为m，求当x＝－2 024时，代数式ax5＋bx3＋cx－5的值． 解：(1)因为a＋b＝3， 所以2(a＋b)－4a－4b＋21 ＝2(a＋b)－4(a＋b)＋21 ＝2×3－4×3＋21 ＝15． (2)因为a2＋2ab＝20，b2＋2ab＝8， 所以a2＋2b2＋6ab ＝a2＋2ab＋2b2＋4ab ＝a2＋2ab＋2(b2＋2ab) ＝20＋2×8 ＝36． (3)因为当x＝2 024时，2 0245a＋2 0243b＋2 024c－5＝m， 所以当x＝－2 024时， ax5＋bx3＋cx－5 ＝－2 0245a－2 0243b－2 024c－5 ＝－m－10． 4．(8分)用整体思想解方程：3(2x－3)－(3－2x)＝5(3－2x)＋(2x－3)． 解：设y＝2x－3， 则原方程可以化成3y＋y＝－5y＋y． 移项、合并同类项，得y＝0， 解得y＝0， 即2x－3＝0， 解得x＝． 方法二 分类讨论法 5．(8分)已知|a|＝2，|b|＝8，且ab＜0，求a－b的值． 解：因为|a|＝2，|b|＝8， 所以a＝±2，b＝±8． 因为ab＜0， 所以a＝2，b＝－8或a＝－2，b＝8． 所以a－b＝10或－10． 6．(12分)已知∠AOB＝80.5°，∠AOD＝∠AOC，∠BOD＝3∠BOC(∠BOC＜50°)，求∠BOC的度数． 聪明的小明用分类讨论的方法解决． (1)当射线OC在∠AOB的内部时． ①若射线OD在∠AOC内部，如图(1)，可求∠BOC＝16.1°； ②若射线OD在∠AOB外部，如图(2)，请你求出∠BOC的度数． (2)当射线OC在∠AOB的外部时，请你画出图形，并求∠BOC的度数． 第6题图 解：(1)②设∠BOC＝α，则∠BOD＝3α， ∠COD＝∠BOD－∠BOC＝2α． 因为∠AOD＝∠AOC， 所以∠AOD＝∠COD＝α． 所以∠AOB＝∠BOD－∠AOD＝3α－α＝80.5°． 所以α＝34.5°． 所以∠BOC＝34.5°． (2)当射线OC在∠AOB外部时，根据题意，此时射线OC靠近射线OB． 因为∠BOC＜50°，∠AOD＝∠AOC． 所以射线OD的位置也只有两种可能． 设∠BOC＝α，则∠BOD＝3α． ①若射线OD在∠AOB内部，如图所示． 因为∠COD＝∠BOC＋∠BOD＝4α， 所以∠AOB＝∠BOD＋∠AOD＝3α＋4α＝7α＝80.5°． 所以α＝11.5°． 所以∠BOC＝11.5°． ②若射线OD在∠AOB外部，如图所示． 因为∠AOD＝∠AOC， 所以∠AOD＝(∠BOC＋∠BOD)＝α． 所以∠AOB＝∠BOD－∠AOD＝3α－α＝80.5°． 所以α＝48.3°． 所以∠BOC＝48.3°． 综上所述，∠BOC的度数是11.5°或48.3°． 方法三 数形结合思想 7．(4分)在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x＋1|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数－1的点的距离，|x－2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．当|x＋1|＋|x－2|取得最小值时，x的取值范围是( C ) A．x≤－1 B．x≤－1或x≥2 C．－1≤x≤2 D．x≥2 8．(4分)古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法．以方程x2＋3x＝20为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形ABCD，它由四个全等的长方形加中间小正方形组成，根据面积关系可求得AB的长，从而解得x．根 ... ...
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