课时分层训练(七) 三角函数的应用 知识点一 仰角、俯角 1．从一艘船上测得海岸上高为42 m的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是( A ) A．42 m B．14 m C．21 m D．42 m 2．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120 m，这栋高楼BC的高度为( D ) A．40 m B．80 m C．120 m D．160 m 知识点二 方向角 3．如图，小明在一条东西走向公路的O处测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距200 m，则图书馆A到公路的距离AB为( A ) A．100 m B．100 m C．100 m D． m 4．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30 km至B港，然后沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为( B ) A．(30＋30)km B．(30＋10)km C．(10＋30)km D．30 km 解析：根据题意，得∠CAB＝65°－20°＝45°，∠ACB＝40°＋20°＝60°，AB＝30 km. 如图，过点B作BE⊥AC于点E. ∴∠AEB＝∠CEB＝90°. 在Rt△ABE中，∠ABE＝45°， AB＝30 km， ∴AE＝BE＝AB＝30 km. 在Rt△CBE中，∠ACB＝60°， ∴CE＝BE＝10 km， ∴AC＝AE＋CE＝(30＋10)km， ∴A，C两港之间的距离为(30＋10)km. 知识点三 解直角三角形的应用 5．如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是 m.(假设夏至的正午时刻阳光与地平面的夹角为60°) 6．如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM＝4 m，AB＝8 m，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长为 (4－4) m.(结果保留根号) 知识点四 坡度(坡比) 7．小明去爬山，在山脚测得山顶的仰角为30°，他在坡比为5∶12的山坡上走了1 300 m，此时测得山顶的仰角为60°，则山的高度为( B ) A．(600－250)m B．(600－250)m C．(350＋350)m D．500 m 8．如图，在外力的作用下，一个滑块沿坡比i＝1∶3的斜坡向上移动了10 m．此时滑块上升的高度是( A ) A． m B． m C．3 m D．10 m 9．如图是某桥简图．已知主塔AB垂直桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD，AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D，C之间的距离约为33 m，求主塔AB的高度．(结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73) 解：在Rt△ADB中，∠ADB＝60°， tan∠ADB＝， ∴BD＝＝. 在Rt△ABC中，∠C＝45°，tan C＝， ∴BC＝＝AB. ∵BC－BD＝CD＝33 m， ∴AB－＝33， ∴AB＝≈78(m)， ∴主塔AB的高约为78 m． 10．如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20 m，背水坡BC的坡比i1＝1∶1.为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡比改为i2＝1∶，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.41，≈1.73) 解：在Rt△BCD中， ∵BC的坡比i1＝1∶1， ∴＝1， ∴BD＝CD＝20 m. 在Rt△ACD中， ∵AC的坡比i2＝1∶， ∴＝， ∴AD＝CD＝20 m， ∴AB＝AD－BD＝20－20≈14.6(m)， ∴背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6 m． 11．小明学了解直角三角形的内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100 m后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，点B在他的北偏西60°方向上(点A，B，C，D在同一平面内)．求： (1)点D与点A之间的距离； (2)隧道AB的长度．(结果保留根号) 解：(1)由题意可知∠ACD＝15°＋45°＝60°，∠ADC＝180°－45°－45°＝90°. 在Rt△ADC中， AD＝DC·tan ∠ACD＝100×tan 60°＝100＝300(m)， ∴点D与点A之间的距离为300 m. (2)如图，过点D作DE⊥AB于点E. ∵AB是东西走向， ∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°. ... ...
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