第二章成果展示 直角三角形的边角关系 (时间：120分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题 共40分) 一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．在Rt△ABC中，若各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角∠A的余弦值的变化情况是( C ) A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍 C．没有变化 D．不能确定 解析：设在Rt△ABC中∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且∠C＝90°，则cos A＝，若把各边扩大为原来的2倍，则各边为2a，2b，2c，且由三角形相似，可知△ABC仍是直角三角形，那么cos A＝＝，所以∠A的余弦值不变． 2．如图，梯子跟地面的夹角为α，关于α的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是( B ) A．sin α的值越小，梯子越陡 B．cos α的值越小，梯子越陡 C．tan α的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与α的函数值无关 第2题图 第3题图 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AB＝10，则AC的长是( B ) A．3 B．6 C．9 D．12 4．若0°＜α＜90°，则下列说法不正确的是( B ) A．sin α随α的增大而增大 B．cos α随α的减小而减小 C．tan α随α的增大而增大 D．sin α＝cos (90°－α) 5．利用我们数学课本上的计算器计算sin 52°，正确的按键顺序是( D ) A． B． C． D． 6．爬坡时坡面与水平面的夹角为α，则每爬1 m耗能(1.025－cos α)J.若某人爬了1 000 m，该坡角为30°(如图)，则他耗能(参考数据：≈1.732)( B ) A．58 J B．159 J C．1 025 J D．1 732 J 解析：由题意，得耗能为1 000×(1.025－cos 30°)＝1 000×(1.025－)≈159(J)． 7．如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1.若点A，B，C都在格点上，则sin B的值为( A ) A． B． C． D． 解析：如图，连接格点A，D. ∵AB2＝52＋12＝26，AD2＝22＋22＝8，BD2＝32＋32＝18， ∴AB2＝AD2＋BD2，∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°. ∵AD＝2，AB＝， ∴sin B＝＝＝. 8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos B＝，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则Rt△ABC的三边a，b，c的比为( A ) A．2∶∶3 B．1∶∶ C．1∶2∶3 D．2∶∶ 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cos A＝，则BD的长度为( C ) A． B． C． D．4 10．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图．此时测得地面上的影长为 8 m，坡面上的影长为4 m，已知斜坡的坡角为30°.同一时刻，一根长为1 m且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2 m，则树的高度为( A ) A．(6＋)m B．12 m C．(4－2)m D．10 m 第Ⅱ卷(非选择题 共80分) 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 11．锐角A满足3tan A＝，则∠A＝ 30° ．(填度数) 12．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sin α＝，堤坝高BC＝30 m，则迎水坡面AB的长度为 50 m. 13．如图，以点O为圆心、任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以点B为圆心、BO的长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin ∠AOC的值为 ． 解析：如图，连接BC. 由题意可得OB＝OC＝BC，则△OBC是等边三角形，故sin ∠AOC＝sin 60°＝. 14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3.若cos A＝，则BC的长为 4 ． 15．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC.若AD＝1，CD＝3，则sin ∠ABD＝ ． 16．定义一种运算： sin (α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β， sin (α－β)＝sin α·cos β－cos α·sin β． 例如，当α＝45°，β＝30°时，sin(45°＋30°)＝＝，则sin 15°的值为 ． 三、解答题(本大题共6个小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17． ... ...
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