圆锥曲线中的同构思想专练（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2 0, 2 第十三节 专题:圆锥曲线中的同构思想 由 k1 k2 1 可知 m ,故直线 MN 过定点3 . 3 x2 【3】（1） y2 1 ；（2） k 4 重点题型专练 4 1 解析:（1）解:依题意可得 b 1, 2c 2 3 ,又 c 2 2 【 】详见解析 a b 2 , 2 解析:（1）由椭圆的对称性可得 P1(1,1) 不在椭圆上,过程略,椭圆 C 的方 x所以 a 2 ,所以椭圆方程为 y2 1 ; x2 4 程为 y2 1 . 4 （2）因为直线 AB , AC 的斜率都不能为零,故设直线 AB , AC 的方程 分别为 x m1(y 1) 和 x m2 (y 1) , 与椭圆 E 的方程联立 ,可得（2） 设 lAB : x my n,A x1, y1 ,B x2 , y2 , 8m m2 4 8m m2 4 设 lAP : y k1x 1,lBP : y k2x 1 B 1 1 2 2 2 2 m2 , 2 ,C , 1 4 m1 4 m 2 2 4 m 2 4 .2 x2 4y2 4 x2 2 2 2联立 4 k x 1 4, 1 4k x 8k x 0 又直线 BC 的方程为 y 1 k(x 2)(k 0)1 1 1 ,将点 B,C的坐标代入化简得 y k1x 1 km21 4km1 4(k 1) 0, 8k 8k 2 由 此 可 知 m1,m2 是 关 于 m 的 方 程 x1 xP x 0 1 , x 1 km2 4km2 4(k 1) 0, 2 1 1 4k 2 1 21 1 4k1 2 4(k 1) 8k1 1 4k 2 8k 1 4k km 4km 4(k 1) 0 的两个根,则 m1 m2 4,m1m2 . y1 k1 2 1 1 2 , A 1 , 1 x my n k 1 4k1 1 4k1 1 4k 2 1 4k 2 在 上1 1 由直线 AB , AC 的方程可得 M m1 , 0),N m2 ,0 , 8k1 1 4k 2 m 1 n 2 16 16(k 1)1 4k 2 1 4k 2 所以 |MN | m1 m2 m1 m2 4m1 1 1m2 2k 8k1 m 1 4k 21 n 4nk 21 解得 k 4 . 2 2 （构造同构式,大大简化了运算过程.将直线 AB , AC (4n 4m)k 8k m n 0 (4n 4m)k 的方程设为1 1 ,同理 2 8k2 m n 0 x m (y 1) 和 x m (y 1) 的形式而非斜截式,成功避免了对其斜率存 k1,k2 是方程 (4n 4m)k 22 8k m 1 2 2 n 0 的两个不同的根 在性的讨论,从而减少了运算量.） 8 2 k1 k2 1 ,即 1,n m 2 16 24n 4m n m 【4】（1） 1 ;（2） ． 9 lAB : x my m 2 ,即 x m(y 1) 2, l 过定点 (2, 1) . x2 【2】详见解析 解析:（1）由点 A(2,1) 在双曲线 C 上,可得 C 的方程为 y2 1 .设直 2 x2 y2 解析:（1） 1 ，解析略 线 AP , AQ 的方程分别为 y k1(x 2) 1 和 y k2 (x 2) 1 ,与双曲线3 2 C 的方程联立, （2）方法一:直接求点,求直线依题设 k1 k2 ,设 M xM , yM ,直线 AB的 4k 21 4k1 2 2k 21 4k1 1 4k 2 4k 2 2k 2 4k 1 P , Q 方程为 y 1 k (x 1) 即 y k x 1 k ,亦即 y k x k ,代入椭圆方 可得 2 2 2 , 2 2 1 1 1 1 2 1 2k1 1 2k 2 , 2 2 . 1 1 2k2 1 2k2 程,联立可得 2 3k 21 x2 6k1k 22x 3k2 6 0 . 设直线 PQ 的方程为 mx ny 1 2m n 1 ,将点 P , Q的坐标代人化简 3k1k2 2k2 3k1kx , y x 2 2k , y 1 2(n 2m 1)k 2 1 4(n m)k (n 2m 1) 0,于是 1M 2 3k 2 M 2 3k 2 .同理, N 2 3k 2 N 2 3k 2 . 得 1 1 2 2 2(n 2m 1)k 2 2 4(n m)k2 (n 2m 1) 0, 当 k1k2 0 时,直线 MN 的斜率 由此可知 k1,k2 是关于 k 的方程 2 2 y y 4 6 k2 k2k1 k1 10 6k k 2(n 2m 1)k 2 4(n m)k (n 2m 1) 0 K M N 2 1 的两个根, . xM xN 9k2k1 k2 k1 9k 2k 1 4(n m) 则 k1 k 02 m n PQ 2k 10 6k k 3k k 2(n 2m 1) ,得 ,所以直线 的斜率等于-1,即直 2 2 1 1 2 直线 MN 的方程为 y x 2 , 3k 21 9k k 2 3k 2 2 1 1 线 l 的斜率为-1 . π 10 6k2k1 10 6k2k1 3ky x 1 k2 2k PA,AQ , k k 0 即 2 2 （2）不妨设直线 的倾斜角为 ,因为 AP AQ , 9k k 9k k 2 3k 2 3k 2 , 2 2 1 2 1 1 1 所以 π ,由（1）知, x x 2m2 2 0 , 10 6k k 1 2 y 2 1 2亦即 x 9k k 3 . 当 A,B 均在双曲线左支时, PAQ 2 ,所以 tan 2 2 2 ,2 1 2 即 2 tan2 tan 2 0 tan 2 ,解得 （负值舍去） 此时直线过定点 0, .当 k1k2 0 时,直线 MN3 即为 y 轴, 2 此时 PA与双曲线的渐近线平行,与双曲线左支无交点,舍去; 0, 2 2 此时亦过点 3 .综上, 直线 MN 恒过定点,且坐标为 0, . 当 A,B 均在双曲 ... ...