2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2025年全国高中数学联合竞赛B卷加试试题(图片版,含答案)

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛) 暨2025年全国高中数学联合竞赛 加试(B卷)参考答案及评分标准 说明： 1.评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分。 2,如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次. 一.（本题满分40分）设a,b,c>0,a+b+c=3,记 S=a+ab+abc+bc+c. (1)证明：S≤5： (2)若S=3,求b的取值范围， 解：(I)由于S=abc+(a+cb+1),利用均值不等式及a+b+c=3,得 c≤++9 a+e+s++=4 两式相加得S≤5. …20分 (2)由S=3及a+b+c=3,可知b(a+ac+c)=S-a-c=b,又b>0,故 a+ac+c=1,即(a+1)(c+1)=2, 由a>0知a+1>1,由c>0知a+1=2<2.注意到函数f=x+在 c+1 [山，√2]上严格减，在[V2,2]上严格增，且f)=3,(W2)=22,f(2)=3,故白 a∈0,2)知a+1+2∈22,3). a+1 从而6=3-a-c=5-+1+吊25-2， …40分 1 二.（本题满分40分）如图，在△ABC中，D为边BC的中点，∠BAC平 分线上的两点E,F满足∠AEB=∠AFC=180°-∠BAC,△AFB的外接圆与 △AEC的外接圆交于A及另一点P.证明：A,P,D三点共线. (答题时请将图画在答卷纸上) D 证明：用A,B,C分别记△ABC的三个内角，4，b,c分别表示角A,B,C所对 边的长.由条件知∠BAE=∠FAC=号，结合LAB=∠CFA=180P-A,可知 EB1=4cF=兰所以能-二-2cas …10分 设△AFB的外接圆与△AEC的外接圆分别再次交边BC于点S和T, 连接S,则∠CSF=∠BAF=子，并且 ∠SFC=360°-∠CFA-∠AFS=(I80°-∠CFA)+(180°-∠AFS)=A+B, 故由正弦定理知CS-sin∠SFC。sin(A+B)_sinC CF sin.∠CSF sin4 A sin 2 2 于是Cs=sinC .cr=sinC.AC=2sin -b=2bc sin A A sin sin a 2 2 cos 2 同理得BT=2bc,所以BT=CS. …30分 a 结合DB=DC,可得DS=DT,所以DB·DS=DC·DT,即点D在△AFB 的外接圆与△AEC的外接圆的根轴上，故A,P,D三点共线. …40分 22025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛) 暨2025年全国高中数学联合竞赛 加试试题（B卷) 一。 (本题满分40分)设a,b,c>0,a+b+c=3,记 S=a+ab+abc+bc+c. (1)证明：S≤5； (2)若S=3,求b的取值范围. 二.（本题满分40分）如图，在△ABC中，D为边BC的中点，∠BAC平 分线上的两点E,F满足∠AEB=∠AFC=180°-∠BAC,△AFB的外接圆与 △AEC的外接圆交于A及另一点P.证明：A,P,D三点共线. (答题时请将图画在答卷纸上) B 三.（本题满分50分)给定整数n≥2.设A是由n个不同的正整数构成的 集合，记m为集合B={x+z|x,y,z∈A的元素个数.证明：m≥n2+n-1,并 且存在集合A使得m=n2+n-1. 四.（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数n:存在n的一个倍数 N,其在十进制表示下含有0,1,2，，9中每一个数码，并且对任意 i∈{0，l,2,…,9},可以删去N的十进制表示中的一个数码i,使所得的数仍是n 的倍数.