第十章 单元素养测评卷（含解析）高中数学人教B版（2019）必修 第四册

单元素养测评卷(二) 1.A　[解析] 若i是虚数单位,则i2=-1,故“a=i”是“a2=-1”的充分条件.由a2=-1,得a=±i,故“a=i”不是“a2=-1”的必要条件.故“a=i”是“a2=-1”的充分不必要条件.故选A. 2.C　[解析] 由复数的几何意义得z=2+3i,所以=2-3i,其虚部为-3.故选C. 3.C　[解析] ===.故选C. 4.A　[解析] 因为ω=-+i=cos+isin,所以ω3=cos 2π+isin 2π=1,ω2=cos+isin=--i,所以1+ω+ω2+ω3=1-+i--i+1=1.故选A. 5.A　[解析] z===+i.由|z|=2,得+=8,解得a=±6.由z在复平面内对应的点在第四象限,得则a>1.综上可得a=6.故选A. 6.C　[解析] 由题可知A(2,2),设B(x1,y1),C(x2,y2).∵四边形OABC是菱形,∴=,||=||,即+=8.∵∠AOC=60°,∴△AOC是等边三角形,∴||=||,即(x2-2)2+(y2-2)2=8,即+-4(x2+y2)=0,可得x2+y2=2,即x2=2-y2,代入+=8,得(2-y2)2+=8,整理得-2y2-2=0,可得y2=1±.当y2=1+时,x2=2-(1+)=1-,x1=2+x2=2+1-=3-,y1=2+y2=3+,∴B(3-,3+);当y2=1-时,x2=2-(1-)=1+,x1=2+x2=2+1+=3+,y1=2+y2=2+1-=3-,∴B(3+,3-).综上可得,点B对应的复数为(3-)+(3+)i或(3+)+(3-)i.故选C. 7.A　[解析] 设z=x+yi(x,y∈R),由|z-2|=2,得复数z在复平面内表示的点(x,y)到点(2,0)的距离为2,所以z在复平面内对应的点在以(2,0)为圆心,2为半径的圆上.因为|z+1-4i|=|z-(-1+4i)|表示点(x,y)与点(-1,4)间的距离,所以其最小值为-2=3. 8.D　[解析] 由复数z1=1+i,z2=cos α+isin α(α∈R),得z1-z2=(1-cos α)+i(1-sin α),因此|z1-z2|===≤=+1,当且仅当α+=2kπ-,k∈Z,即α=2kπ-,k∈Z时取等号,所以|z1-z2|的最大值为+1. 9.BD　[解析] ∵i2k+1z=2+i,∴z=.当k为奇数时,z====-1+2i,在复平面内对应的点为(-1,2),位于第二象限;当k为偶数时,z====1-2i,在复平面内对应的点为(1,-2),位于第四象限.故选BD. 10.ABD　[解析] 因为eiθ=cos θ+isin θ,所以=cos +isin =i,故A正确;=cos +isin =+i,则||==1,故B正确;=()3=e-πi=cos(-π)+isin(-π)=-1,故C错误;==cos ,故D正确.故选ABD. 11.ACD　[解析] 对于A,一元二次方程的复数根互为共轭复数,故A正确;对于B,由题意得(z1+z2)2=++2z1z2=-+2×=,因为复数根互为共轭复数,所以z1+z2为实数,z1-z2为纯虚数,故z1+z2==,则a=2,又z1z2==,所以b=1,则a-b=1,故B错误;对于C,a2+b2=22+12=5,故C正确;对于D,(z1-z2)2=+-2z1z2=--2×=-,则z1-z2=±i,所以|-|=|(z1-z2)(z1+z2)|==,故D正确.故选ACD. 12.-i　[解析] 因为z=2i,所以=-2i,则+=-2i+=-2i+=-2i-=-i. 13.　[解析] z====-+i=cos+isin,所以辐角主值为. 14.12　[解析] 由复数(i是虚数单位)的共轭复数是2-5i,可得=2+5i.由==+i,可得+i=2+5i,则=2且=5,解得a=12. 15.解:(1)∵复数z为纯虚数,∴解得m=0,故m的值为0. (2)∵复数z在复平面内对应的点在第四象限, ∴解得0, 由根与系数的关系可得 设α=a+bi,β=a-bi,a,b∈R且b>0, 则|α-β|=|2bi|=2b=3,解得b=. 因为α+β=2a=-1,所以a=-, 所以m=αβ=(a+bi)(a-bi)=a2+b2=+=,符合题意. 综上,m的值为-2或. (2)当α,β为实数,即m≤时,(|α|+|β|)2=9, 即α2+β2+2|αβ|=9,所以(α+β)2-2αβ+2|αβ|=9, 所以1-2m+2|m|=9. 当0≤m≤时无解;当m<0时,m=-2. 当α,β为 ... ...