第三节 空间向量及其运算的坐标表示 ▍知识点1:空间直角坐标系及空间向量的坐标表示 （1）空间直角坐标系 在空间选定一点和一个单位正交基底（如图）,以点为原点,分别以,,的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系,叫做原点,,,都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为平面,平面,平面,它们把空间分成八个部分. （2）空间向量的坐标表示 ①在空间直角坐标系中,,,为坐标向量,对空间任意一点,对应一个向量,且点的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使. 在单位正交基底下与向量对应的有序实数组,叫做点在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中叫做点的横坐标,叫做点的纵坐标,叫做点的竖坐标. ②在空间直角坐标系中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标,上式可简记作. ［对应练习:基础1、题型1］ ▍知识点2:空间向量运算的坐标表示 设,则 （1）两向量和的坐标等于两向量相应坐标的和,即. （2）两向量差的坐标等于两向量相应坐标的差,即. （3）数乘向量所得向量的坐标等于用这个数乘原来向量的相应坐标,即. （4）两向量的数量积等于这两个向量相应坐标的乘积的和,即. ［对应练习:基础2—基础4］ ▍知识点3:空间向量的平行或垂直的坐标表示 （1）空间向量平行（共线）的充要条件 设, 则. （2）空间向量垂直的充要条件 设非零向量, 则 ［对应练习:题型2、题型3］ ▍知识点4:空间向量的模长公式及夹角的坐标表示 （1）空间向量长度公式的坐标表示: 若,则. （2）空间两点的距离公式: 若,则 ① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. ②或. 注意:两点间距离公式是模长公式的推广,首先根据向量的减法推出向量的坐标表示,然后再用模长公式推出. （3）向量的夹角坐标公式 设非零向量,则.夹角公式是根据向量数量积的定义推出的.注意的范围是,当时,两向量的位置关系分别是同向共线,垂直,反向共线. ［对应练习:题型4—题型6］ ▍知识点5:中点坐标公式及三角形重心坐标公式 （1）中点坐标公式 空间中有两点,则线段的中点C的坐标为 （2）重心坐标公式 已知的三个顶点, ,则的重心的坐标为. 空间向量的坐标表示 【典例 1】已知是空间的一个单位正交基底,向量用坐标形式可表示为 . 【变式 2】已知是单位正交基底,则空间向量的坐标是_____. 【练习 3】设是空间中的一个单位正交基底,已知向量,其中,, ,则向量在基底下的坐标是（ ） A. B. C. D. 【练习 4】（2024·高二专题）直三棱柱中,,,D为的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,的坐标分别为 . 空间向量的坐标运算 【典例 5】已知,求. 【练习 6】已知向量,,则_____. 【练习 7】已知,,,则_____. 【练习 8】（2024·上海高二期中）已知, ,则 . 【练习 9】向量,,,若,则实数 . 点坐标与向量坐标的关系 若,则 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 【典例 10】在空间直角坐标系中,若, ,则点的坐标为_____. 【变式 11】（2023·高二课时练习）已知平行四边形,且,,,则顶点的坐标为_____. 【练习 12】（2024·全国高二专题）空间直角坐标系中,已知,,点满足,则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【练习 13】已知点,点,若点C满足,则点C的坐标为_____. 找坐标系下点的坐标 【典例 14】建立合适的空间直角坐标系,在所建立的坐标系中: （1）写出棱长为1的正四面体各顶点的坐标; （2）写出底面边长为1,高为2的正三棱柱各顶点的坐标. 【练习 15】如图,△ABC是一个正三角形,平面ABC,,且CE＝CA＝2BD=2,M为AE的中点.请建立适当空间 ... ...
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