云南省玉溪市玉溪一中2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题（含解析）

云南省玉溪市玉溪一中2025-2026学年高二上学期开学考试 数学试题及答案解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则（ ） . . . . 2.已知命题；命题，则（ ） .和都是真命题 .和都是真命题 .和都是真命题 .和都是真命题 3.如图是某函数的部分图像，则该函数最有可能的解析式是（ ） . . . . 4.设，若关于的不等式在上有解，则（ ） . . . . 5.已知函数（且）在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） . . . . 6.已知，，则（ ） . . . . 7.已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） . . . . 8.已知的内角的对边分别为，若为锐角三角形，，且，求面积的取值范围（ ） . . . . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数在处取得最小值，与此最小值点最近的图象的一个对称中心为，则下列结论正确的是（ ） . .将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象 .在区间上单调递减 .在区间上的值域为 10.从某次知识竞赛成绩中随机抽取容量为100的样本，由样本数据绘制的频率分布直方图如图所示，则下列估计结论正确的有（ ） .成绩的众数为75 .成绩的上四分位数为84 .成绩的极差为60 .已知落在的平均成绩是54，方差为2,； 落在的平均成绩为66，方差为5，则两组成绩的总标准差为6 11.已知函数，以下说法正确的是（ ） .对，，都有 .若，且，则 .若有4个不相等的实根，则的范围是 .函数有4个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.函数的定义域为 . 13.已知平行四边形中，，，.若点满足，点为中点，则 . 14.将半径为2的四个球堆成如图所示的“三角垛”，则由球心构成的四面体的外接球的表面积为 ，若该三角垛能放入一个正四面体容器内，则该容器棱长的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）在中，角的对边分别为，且. （1）求角； （2）若外接圆的半径为，求面积的最大值. 16.（15分）如图，在三棱柱中，面为正方形，面为菱形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 17.（15分）随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变.消费层次不断提升，“银发经济”称为社会热门话题之一，被各企业持续关注.某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在的老年人的年收入按年龄，分成两组进行分层抽样调查.已知抽取了年龄在，的老年人500人.年龄在的老年人300人.现作出年龄在的老年人年收入的频率分布直方图（如图所示）： （1）根据频率分布直方图，若每个区间取中点值为代表，估计该地年龄在的老年人年收入的平均数及第95百分位数； （2）已知年龄在的老年人年收入的方差为3，年龄在的老年人年收入的平均数和方差分别为3.75和1.4，试估计年龄在的老年人年收入的方差.（请先推导出必要的公式，再代值计算） 18.（17分）已知函数为偶函数. （1）求函数的解析式； （2）设，若函数与函数的图象有且仅有一个公共点，求实数的值. 19.（17分）设函数. （1）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； （2）解关于的不等式：. 答案解析 一、选择题 1.A 解析：∵，解得，∴，又，∴. 2.A 解析：，显然成立，∴是真命题，是假命题. 当时，，∴是真命题，是假命题. 3.D 解析：对于A，函数的定义域为，不符合图象，故A错误； 对于B，，则，在上为增函数，故B错误； 对于C，当时，；当时，，不符合图象，故C错误；排除法，D正确. 4.C 解析：由不等式在上有解，得在上有解， 则，∵，又在上单调递增， 故当时，取最大值 ... ...