2.4.1 圆的标准方程 学案设计(一) 学习目标 1.会用定义推导圆的标准方程,掌握圆的标准方程的特点. 2.会根据已知条件求圆的标准方程. 3.能准确判断点与圆的位置关系. 自主预习 知识点一:圆的标准方程 1.圆的定义:平面上到 的距离等于 的点的集合叫做圆,定点称为圆心,定长称为圆的半径. 2.圆的要素: 和 ,如图所示. 3.圆的标准方程:圆心为A(a,b),半径为r的圆的标准方程是 . 当a=b=0时,方程为x2+y2=r2,表示以原点为圆心、r为半径的圆. 知识点二:点与圆的位置关系 点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断方法: 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|=r (x0-a)2+(y0-b)2 r2 点M在圆外 |CM|>r (x0-a)2+(y0-b)2 r2 点M在圆内 |CM| < 课堂探究 探究一: 问题1:平面上,到定点的距离等于定长的点的集合,称为圆;其中,定点称为圆心,定长称为半径.设☉A的圆心为点A,半径为r,则☉A就是以下点的集合:P={M||MA|=r}. 问题2:圆心在原点上的圆的方程x2+y2=r2;圆心不在原点上,设圆心为A(a,b),则圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2. 问题3:圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小,通过圆心和半径这两个要素来刻画圆. 探究二: 例1 解 (1)①是圆心为(2,0),半径为2的圆的方程; ②当m=0时,不是圆的方程;当m≠0时,是圆心为(0,-1),半径为|m|的圆的方程. (2)圆心为A(2,-3),半径为5的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25. 把点M1(5,-7)的坐标代入方程成立,即点M1的坐标满足圆的方程,所以点M1在圆上; 把点M2(-2,-1)的坐标代入方程不成立,即点M2的坐标不满足圆的方程,所以点M2不在圆上. (3)根据圆的定义,点M0在圆x2+y2=r2内的条件是点M0到圆心(0,0)的距离小于半径r,即x2+y2r2. 探究三: 例2 解 (1)(x+3)2+(y-4)2=5. (2)解法1(几何法):设圆C的半径为r,则r==5,所以圆C的标准方程是(x+8)2+(y-3)2=25. 解法2(代数法):设圆C的标准方程是(x+8)2+(y-3)2=r2,将点M(-5,-1)的坐标代入方程得r2=25,所以圆C的标准方程是(x+8)2+(y-3)2=25. (3)设圆的 ... ...
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