单元素养测评卷(一) 1.A [解析] 连接AM,AC,如图,因为=+=a+b,===b,所以=+=-++=-(a+b)+c+b=-a-b+c.故选A. 2.C [解析] 向量a在向量b上的投影向量为·b=(-2,1,1)=,故选C. 3.A [解析] A,B,C,M四点共面的充要条件是=x+y,即-=x(-)+y(-),整理可得(1-x-y)=-x-y,即=--.由=2λ++,得得λ=.故选A. 4.C [解析] 由空间向量数量积的坐标运算可得a·b=x+4=6,解得x=2,所以b=(2,2,2),所以cos
===.故选C. 5.B [解析] 因为=(2,2,-2),=(1,0,-2),所以·=6,故A中说法正确;与夹角的余弦值为cos<,>===,故B中说法错误;因为=(3,2,-4),所以=+,故A,B,C,D四点共面,故C中说法正确;因为=(-1,0,0),所以=-,所以点O到直线AB的距离是==,故D中说法正确.故选B. 6.C [解析] 如图,以D1为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则B(1,1,1),D(0,0,1).设点P(x,y,0),0≤x≤1,0≤y≤1,则=(1-x,1-y,1),=(-x,-y,1),所以·=x2-x+y2-y+1=++,当x=0或1,y=0或1时,·取得最大值1.故选C. 7.B [解析] 如图所示,以D为原点,,,的方向分别为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系.设SD=t(t>0),则B(2,2,0),C(0,2,0),E(2,1,0),F,所以=(-2,1,0),=.因为异面直线EC与BF所成角的余弦值为,所以|cos<,>|===,可得t=4,即SD=4.故选B. 8.C [解析] 由平面α的方程为x-y+z-7=0,得平面α的一个法向量为m=(1,-1,),由直线l的方程为==,得直线l的一个方向向量为n=(-3,5,).设直线l与平面α所成的角为α,则sin α=|cos|==,所以α=30°,故选C. 9.BC [解析] 对于A,若与共线,则存在λ∈R使=λ,则无解,故,不共线,故A错误;对于B,与同向的单位向量是=,故B正确;对于C,=-=(-3,1,1),故cos<,>===-,故C正确;对于D,设m=(x,y,z)是平面ABC的一个法向量,则令y=2,则m=(-1,2,-5),m与n不共线,故D错误.故选BC. 10.BC [解析] 如图,以D为原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),D1(0,0,1),所以=(0,1,0),=(1,1,1).设平面B1CD的一个法向量为m=(x,y,z),则令x=1,则m=(1,0,-1).设Q(1,0,t)(0≤t≤1),则=(0,-1,t),若BQ与平面B1CD垂直,则与m共线,则存在唯一的实数λ,使=λm,则(0,-1,t)=λ(1,0,-1),等式不可能成立,所以与m不共线,所以不存在点Q使得BQ与平面B1CD垂直,故A错误,B正确.=(1,0,t-1),若D1Q与平面B1CD垂直,则与m共线,则存在唯一的实数μ,使=μm,则(1,0,t-1)=μ(1,0,-1),得μ=1,t=0,所以当Q的坐标为(1,0,0)时,与m共线,此时D1Q与平面B1CD垂直,故C正确,D错误.故选BC. 11.ACD [解析] 由题意知,m,n,AC三条直线两两相互垂直,画出图形如图,不妨设图中正方体的棱长为1,故AC=1,AB=,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,则A点保持不变,B点的运动轨迹是以C为圆心,1为半径的圆.以C为原点,建立空间直角坐标系,则D(1,0,0),A(0,0,1),设直线m的单位方向向量为m=(0,1,0),|m|=1,直线n的单位方向向量为n=(1,0,0),|n|=1.设点B在运动过程中B'的坐标为(cos θ,sin θ,0),其中θ为B'C与CD的夹角,θ∈[0,2π),则=(cos θ,sin θ,-1),||=.设AB'与m所成的角为α,α∈,则cos α===|sin θ|∈,∴α∈,故A正确,B错误.设AB'与n所成的角为β,β∈,则cos β===|cos θ|,当AB'与m所成的角为,即α=时,|sin θ|=cos α=cos=,∵cos2θ+sin2θ=1,∴|cos θ|=,∴cos β=|cos θ|=,∵β∈,∴β=,此时AB'与n所成的角为,故C正确.当AB'与m所成的角为,即α=时,|sin θ|=cos α=0,∵cos2θ+sin2θ=1,∴|cos θ|=1,∴cos β=|cos θ|=,∵β∈,∴β=,此时AB'与n所成的角为,故D正确.故选ACD. 12.(2,-1,-3) [解析] 点M(2,1,-3)关于zOx平面的对称点的坐标为(2,-1,-3). 13.0 [解析] 令=a,=b,=c,则·+·+·=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a) =a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0. 14. ... ... 