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课件网) 2.1 圆的方程 第1课时 圆的标准方程 探究点一 圆的标准方程 探究点二 点与圆的位置关系 探究点三 圆的标准方程的实际应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.能描述确定圆的几何要素,能根据给定圆的几何要素推导出圆的标 准方程. 2.能分析圆的标准方程中相关量的几何意义. 3.能根据给定圆的几何要素求出圆的标准方程. 知识点一 圆的定义及标准方程 1.圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，其中定点就是圆 心，定长就是半径. 2.圆的标准方程 圆 圆心在原点 圆心不在原点 圆心 半径 标准方程 _____ _____ 提示：（1）确定圆的标准方程的关键是确定方程中的三个常数,, ; （2）已知圆心与圆上任意一点可以求出该圆的半径. 知识点二 点与圆的位置关系 已知点，圆， . 位置关系 图示 点在圆外 _____ 位置关系 图示 点在圆上 _____ 点在圆内 _____ = 续表 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）圆的圆心坐标是 ,半径是4.( ) × （2）点在圆 的内部.( ) √ （3）已知为定点,点满足集合,则点 的 轨迹为圆.( ) √ （4）点在以 为圆心，5为半径的圆上.( ) × 2.方程表示圆心为，半径为 的 圆吗？ 解:不是.方程表示圆心为 ， 半径为 的圆. 探究点一 圆的标准方程 例1 根据下列条件,求圆的标准方程: （1）圆心为点,且经过点 ; 解:由题意得,圆的半径 ,所以圆 的标准方程为 . （2）, 为直径的两个端点; 解:由题易知，线段的中点为,所以圆心为 ,又半径 ,所以圆的标准方程为 . （3）经过点和点 ,半径为2; 解:设圆的标准方程为,, , 因为圆经过点和点,所以 解得 或 所以圆的标准方程为 或 . 例1 根据下列条件,求圆的标准方程: （4）过点，且圆心在直线 上. 解:方法一：设所求圆的标准方程为 ， 由已知条件得 可得故所求圆的标准方程为 . 例1 根据下列条件,求圆的标准方程: 方法二：设点为圆心，因为点在直线 上，所以可 设点的坐标为 . 又该圆经过, 两点， 所以 ， 则 ，解得 . 则圆心坐标为，半径 . 故所求圆的标准方程为 . 方法三：由已知可得线段的中点坐标为， ， 所以线段的垂直平分线的斜率，所以线段 的垂直平分线 的方程为 ，即. 则圆心是直线与 的交点， 由得 即圆心为，则圆的半径为 ， 故所求圆的标准方程为 . 变式 根据下列条件，求圆的标准方程： （1）圆心是，且过点 ； 解: 圆心为，且过点， 半径， 圆的标准方程为 . （2）圆心在轴上，半径为5，且过点 ； 解:设圆心为 ， ， ，或，或 ， 圆的标准方程为或 . 变式 根据下列条件，求圆的标准方程： （3）点和都在圆上，圆心在 轴上. 解:设圆心为， ， ，即 ， ，半径， 圆的标准方程为 . 变式 根据下列条件，求圆的标准方程： ［素养小结］ 求圆的标准方程一般有两种方法:（1）直接法.通过研究圆的几何性 质,确定圆心坐标与半径,即得到圆的标准方程.（2） 待定系数法.设 圆的标准方程为
,先根据条件列出关 于
,
,
的方程组,然后解出
,
,
,最后代入标准方程. 探究点二 点与圆的位置关系 例2 已知点和圆 . （1）若点在圆的内部，求实数 的取值范围; 解: 点在圆的内部, , 即,解得 ， 故的取值范围是 . （2）若点在圆上，求实数 的值; 解:将点的坐标代入圆的方程,得 , 即,解得 . （3）若点在圆的外部，求实数 的取值范围. 解: 点在圆的外部, , 即,解得 , 又,故的取值范围是 . 例2 已知点和圆 . 变式（1）写出圆心坐标为 ,半径为5的圆的标准方程,并分别判断 点, 与该圆的位置关系. 解:易知圆的标准方程为, 则点 到圆心的距离为, 点 到圆心的距离为, 所以点在圆上,点 ... ...
