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课件网) 3.1 椭圆 3.1.2 椭圆的几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质 探究点一 椭圆的几何性质 探究点二 由椭圆的几何性质求椭圆标准 方程 探究点三 与椭圆离心率有关的问题 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.能直观猜想椭圆形状与大小的特征,并用其标准方程分析推导 出椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质. 2.能说明椭圆特征量的几何意义. 3.能根据焦点在不同坐标轴上的椭圆的标准方程给出相应几何性 质的代数表达. 知识点一 椭圆的简单几何性质 标准方程 图形 _____ _____ 标准方程 性质 焦点 _____ _____ 焦距 范围 _____ _____ 对称性 关于_____对称 轴长 顶点 _____ _____ , , , , 轴、轴和原点 , , 续表 知识点二 离心率 （1）定义：椭圆的焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率,记为 . （2）范围： . （3）离心率对椭圆扁圆程度的影响如图所示, 在中,,记 ,则 ,越大,越小,椭圆越____; 越 小, 越大,椭圆越____. 扁 圆 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）椭圆的长轴长等于 .( ) × （2）设为椭圆的一个焦点, 为椭圆上任意 一点,则的最大值为为椭圆的半焦距 .( ) √ （3）椭圆的离心率 越大,椭圆就越圆.( ) × （4）若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的 方程为 .( ) × 探究点一 椭圆的几何性质 例1 已知椭圆,椭圆与椭圆 的长轴长、短轴长均 相等,且椭圆的焦点在 轴上. （1）求椭圆 的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率; 解:由椭圆,可得, , 则,故椭圆 的长半轴长为10,短半轴长为8,焦点坐 标为,,离心率 . （2）写出椭圆的方程,并写出,的取值范围及椭圆 的对称性、 顶点、焦点和离心率. 解:椭圆的方程为 . ①,的取值范围为, . ②对称性:关于轴、 轴、原点对称. ③顶点为,,, . ④焦点为, . ⑤离心率为 . 例1 已知椭圆,椭圆与椭圆 的长轴长、短轴长均 相等,且椭圆的焦点在 轴上. 变式 分别求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标和焦点 坐标： （1） ； 解:由，得,， ， 所以椭圆的长轴长为，短轴长为 ，离心率 ，顶点坐标为,,, ，焦点坐标 为, . （2） ； 解:由，得,， ， 所以椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率 ， 顶点坐标为,,,，焦点坐标为 , . 变式 分别求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标和焦点 坐标： （3） . 解:由，得 ， 则,， ，所以椭圆的长轴长 为，短轴长为，离心率 ， 顶点坐标为,,,，焦点坐标为, . 变式 分别求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标和焦点 坐标： ［素养小结］ 由椭圆的标准方程研究椭圆的性质时要注意两点: （1）已知椭圆的方程讨论椭圆的性质时,若不是标准形式的方程,则 先化成标准形式的方程,再确定焦点的位置,进而确定椭圆的类型. （2）焦点位置不确定时要分类讨论,找准
与
,正确利用
求出焦点坐标,再写出顶点坐标.同时要注意长轴长、短轴长、焦距不 是
,
,
,而应是
,
,
. 探究点二 由椭圆的几何性质求椭圆标准方程 例2 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴长与短轴长的和为18，焦距为6； 解:设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为 ， 由题意可知可得 因为不确定焦点在哪个坐标轴上， 所以所求椭圆的标准方程为或 . （2）经过点，且离心率 . 解:①当椭圆的焦点在 轴上时，设椭圆的标准方程为 ， 由题意得 ， 因为，所以，从而 ， 所以所求椭圆的标准方程为 . 例2 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程： ②当椭圆的焦点在 轴上时，设椭圆的标准方程为 ， 由题意得 ， 因为，所以，从而 ， 所以所求椭圆的标准方 ... ...
