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课件网) 3.2 双曲线 3.2.2 双曲线的几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质 探究点一 由双曲线方程研究几何性质 探究点二 由双曲线的简单几何性质求方程 探究点三 求双曲线的离心率 探究点四 双曲线的渐近线 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.能类比椭圆几何性质的研究方法得到双曲线的范围、对称性、 顶点、渐近线、离心率等几何性质及其代数表达. 2.能认识双曲线特征量的几何意义. 知识点一 双曲线的几何性质 焦点的位置 图象 _____ _____ 标准方程 焦点的位置 范围 顶点 实（半）轴长、 虚（半）轴长 实轴长为____，虚轴长为____，实半轴长为 ___，虚半轴长为___ 焦点 续表 焦点的位置 焦距 对称性 对称轴：_____，对称中心：_____ 离心率 渐近线 ,轴 原点 续表 知识点二 等轴双曲线 _____叫作等轴双曲线,其渐近线方程为_____ _____,离心率为____. 实轴和虚轴等长的双曲线 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）双曲线的焦点在 轴上.( ) × （2）双曲线 与双曲线 的渐近线方程相同.( ) × （3）双曲线的离心率越大,双曲线的开口越开阔.( ) √ （4）等轴双曲线的渐近线互相垂直.( ) √ 2.（1）双曲线的渐近线确定时,其标准方程能确定吗 解:不能.当渐近线确定时,只有实轴长与虚轴长的比值确定，它对应 无数条双曲线,且焦点可能在轴上,也可能在 轴上. （2）椭圆的离心率与双曲线的离心率的取值范围是否相同 解:不相同.双曲线的离心率的取值范围是 ,椭圆的离心率的取 值范围是 . 探究点一 由双曲线方程研究几何性质 例1 （多选题）［2025·江苏兴化中学高二月考］ 下列关于双曲线 的说法正确的是( ) A.实轴长为6 B.与双曲线 有相同的渐近线 C.一个焦点到一条渐近线的距离为4 D.与椭圆 有同样的焦点 √ √ √ [解析] 对于A，由题意，双曲线的实半轴长,虚半轴长 满足,,即,,于是实轴长 ,A选项正确； 对于B，双曲线的焦点在 轴上，故其渐近线方程为 ，而双曲线的焦点也在 轴上，故其渐近线 方程为，即 ，即它们的渐近线相同，B选项正确； 对于C，双曲线的焦点为 ，不妨取其中一个焦点 和一条渐近线 ，根据点到直线的距离公式，得一个焦 点到一条渐近线的距离为 ，C选项错误； 对于D，椭圆的焦点为 ，根据C选项可知，椭圆 和双曲线焦点一样，D选项正确. 故选 . 变式 （多选题）［2025·广东惠州中学高二月考］ 已知双曲线 ，则不因 的值改变而改变的是( ) A.焦距 B.顶点坐标 C.离心率 D.渐近线方程 [解析] 由方程 ，得双曲线的标准方程为 ，即,， ， 则焦距为，顶点坐标为，离心率 ，渐近线 方程为,则焦距与顶点坐标会因 的值改变而改变,离心率与渐 近线方程不因的值改变而改变.故选 . √ √ ［素养小结］ 由双曲线的方程研究其几何性质的解题步骤: 探究点二 由双曲线的简单几何性质求方程 例2（1）［2025·江苏新海中学高二月考］一双曲线的虚轴长为4， 离心率与椭圆 的离心率互为倒数，且焦点所在坐标轴相 同，则该双曲线的方程为( ) A. B. C. D. √ [解析] 因为椭圆的焦点在轴上，其离心率 ，所以 所求双曲线的焦点也在轴上，其离心率（其中, 分别为 双曲线的半焦距、实半轴长），所以 ， 又因为双曲线的虚轴长，所以，即， 所以 ，所以所求双曲线的方程为 .故选C. （2）（多选题）［2025·山东菏泽一中高二质检］ 已知双曲线 的渐近线方程为 ，则该双曲线的方 程可以是( ) A. B. C. D. √ √ [解析] 由题知，双曲线的焦点可能在轴上，也可能在 轴上.对于 A项，双曲线的渐近线方程为 ，故A项错误； 对于B项，双曲线的渐近线方程为 ，故B项正确； 对于C项，双曲线的渐近线方程为 ... ...
