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课件网) 3.2 双曲线 3.2.2 双曲线的几何性质 第2课时 直线与双曲线的综合应用 探究点一 直线与双曲线的位置关系 探究点二 弦长问题 探究点三 中点弦问题 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.由直线与双曲线的方程,利用代数方法解决与直线和双曲线位置关 系有关的问题. 2.能初步运用双曲线定义、标准方程和几何性质解决一些综合问题. 知识点一 直线与双曲线的位置关系 一般地,设直线 ,双曲线 ,把①代入②得 . （1）当,即时,直线与双曲线 的渐近线_____, 直线与双曲线 _____. 平行 相交于一点 （2）当,即 时, . 判别式 位置关系 交点情况 直线与双曲线_____ _____ 直线与双曲线_____ _____ 直线与双曲线_____ _____ 相交 有两个交点 相切 有一个交点 相离 没有交点 知识点二 弦长公式 若斜率为的直线与双曲线相交于,两点,则 . 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若直线与双曲线交于一点,则直线与双曲线相切.( ) × （2）直线与双曲线最多有两个公共点.( ) √ （3）直线与双曲线 有两个公共点.( ) √ （4）直线与双曲线 至多有一个交点.( ) √ 2.设为双曲线的弦不平行 轴的中点，为坐标原点，则有 ，你能证明这个结论 吗？ 证明：设，，,则有 ， 由两式相减得 ， 整理得 ，即 ， 因为是弦 的中点， 所以 ， 所以 . 探究点一 直线与双曲线的位置关系 例1 已知双曲线的方程为,直线过点,斜率为.当 为何值时,直线 与双曲线:有一个公共点 有两个公共点 无公共点 解:由题知直线 , 即 . 由 得 . 当,即时,方程（*）只有一个解,直线 与双曲线只 有一个公共点. 当,即时,方程（*）的判别式 . 若,即,则方程（*）有两个相等的实根,直线 与双曲线只有 一个公共点; 若,即且,则方程（*）有两个不相等的实根,直线 与双曲线有两个公共点; 若,即,则方程（*）无解,直线 与双曲线无公共点. 综上所述,当或时,直线 与双曲线只有一个公共点; 当且时,直线 与双曲线有两个公共点; 当时,直线 与双曲线无公共点. 变式 已知双曲线及直线,若直线 与双曲 线有两个公共点,求实数 的取值范围. 解:由消去得 . 由题意得解得且 , 故实数的取值范围为 . ［素养小结］ 直线与双曲线位置关系的判断方法: 1.代数法:把直线的方程与双曲线的方程联立,通过消元后化为
（或
）的形式. （1）当
时,讨论方程的判别式与0的大小关系. ①当
时,直线与双曲线有两个公共点; ②当
时,直线与双曲线只有一个公共点; ③当
时,直线与双曲线没有公共点. （2）当 时,直线（不过双曲线的中心）与双曲线的一条渐近线 平行,直线与双曲线只有一个公共点. 2.几何法:求出渐近线的斜率,结合直线的斜率,作出图形,利用图形判 断直线与双曲线的位置关系. 注意：直线与双曲线有一个公共点包含两种情况:一是相切,二是直线 平行于渐近线. 探究点二 弦长问题 例2 ［2025·山东莱芜一中高二调研］过双曲线 的左焦点 作直线，与双曲线交于,两点，若，则这样的直线 有 ( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 √ [解析] 由题意得双曲线左焦点坐标为，当直线垂直于 轴 时，,不符合题意. 双曲线渐近线方程为 ,故可设,, ，将直线 与双曲线方程联立可得消去得 ， 则，, ，由弦长公式知 ， 则或 ，故存在4条直线满足条件.故选D. 变式 过双曲线的右焦点作倾斜角为 的直线，直线 与双曲线交于不同的两点，，则 的长为_ ____. [解析] 双曲线的右焦点为，所以直线 的方程为 .由得,则 . ，，则，，所以 . ［素养小结］ 1.弦长公式：直线
与双曲线相交所得的弦
的长
其中
,
. 2.解决弦长问题时要注意是交在同 ... ...
