第3章 微突破（四） 抛物线的焦点弦（课件 学案 练习）高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册

微突破(四)　抛物线的焦点弦 例1　(1)D　(2)-　[解析] (1)由题意知F,AB的方程为y=x-,代入C的方程,得x2-3px+=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p,x1x2=.因为FA=+x1,FB=+x2,且FA·FB=32,所以=32,整理得+(x1+x2)+x1x2=32,所以+·3p+=32,结合p>0,解得p=4.故选D. (2)方法一:设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),x2>0,由已知得x1=-4x2,由得x2-8kx-16=0,则结合x1=-4x2(x2>0),得 方法二:设直线l与y轴的夹角为θ,由题得直线l的斜率k<0,抛物线的准线方程为y=-2,设准线与y轴交于点T,过点B作BM⊥准线,垂足为M,BM交x轴于点N,作BE⊥y轴于点E,如图,则ET=BM,由抛物线定义可得BF=BM=ET=FT-EF,其中FT=4,EF=BF·cos θ,故BF=4-BF·cos θ,解得BF=,同理可得AF=,因为=4,所以=4× cos θ=,则直线l与x轴夹角的正弦值为,正切值为,又k<0,所以k=-. 变式　C　[解析] 如图所示,设∠AFx=θ,θ∈(0,π),BF=m,因为AF=3,所以点A到准线l:x=-1的距离为3,所以3=2+3cos θ,得cos θ=,因为m=2+mcos(π-θ),所以m=2-mcos θ,所以m=2-m,得m=,所以BF的值为,故选C. 例2　(1)D　(2)A [解析] (1)如图所示,由抛物线C:y2=4x,得F(1,0),设直线AB:y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1x2=1,x1+x2=.由已知和抛物线定义知====2,则有x2+1=2(x1+1),即x2=2x1+1.由可得故选D. (2)方法一:由题知直线DE的斜率存在且不为0,如图,不妨设直线DE的斜率为k(k>0),因为直线DE过抛物线的焦点(1,0),所以直线DE的方程为y=k(x-1),由可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=2+,所以DE=x1+x2+p=2++2=4+,同理可得AB=4+4k2,则AB+DE=8++4k2≥16,当且仅当k=1时取等号, 此时S四边形ADBE=DE·AB=×8×8=32.故选A. 方法二:由题知p=2,因为AB⊥DE,所以当AB+DE取得最小值时,四边形ADBE的面积为8p2=8×2×2=32. 变式　±　[解析] 方法一:由已知得F(1,0),设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1+x2=,x1x2=1,则AB=|x1-x2|=·=,又O到直线AB的距离d=,所以S△AOB=AB·d=··=2,解得k=±. 方法二:由题知p=2,设直线l的倾斜角为θ,由S△AOB=2,S△AOB=得 sin θ===,则cos θ=±=±,所以直线l的斜率k=tan θ==±. 例3　ABC　[解析] 如图,对于A,由抛物线定义可知AP=AF,BQ=BF,∵M为AB中点,∴MN=(AP+BQ)=(AF+BF)=AB,∴NA⊥NB,A正确;对于B,∵MN=AB=AM,∴∠MNA=∠MAN,∵AP∥MN,∴∠MNA=∠PAN,则∠PAN=∠MAN,又AF=AP,AN=AN,∴△ANP≌△ANF,∴∠AFN=∠APN=,即NF⊥AB,B正确;对于C,∵BF=BQ,AF=AP,∴∠BQF=∠BFQ,∠APF=∠AFP,∵AP∥OF∥BQ,∴∠APF=∠PFO,∠BQF=∠QFO,∴∠QFO=∠BFQ,∠PFO=∠AFP,∵∠AFO+∠BFO=2∠QFO+2∠PFO=π,∴∠QFO+∠PFO=,即FP⊥FQ,C正确;对于D,易知N为线段PQ的中点,若MP⊥MQ,则由FP⊥FQ知M,F在以N为圆心,NP为半径的圆上,∴MN=NF,又NF⊥AB,∴点M,F重合,∴点M,F不一定重合,∴MP⊥MQ不恒成立,D错误.故选ABC. 变式　B　[解析] 设抛物线y2=2px(p>0)的准线为l,则l:x=-,过点A,B分别作l的垂线,垂足分别为C,D,设AB的中点为M,过M作MN⊥l,垂足为N,如图,则MN=(AC+BD)=(AF+BF)=AB,即以AB为直径的圆与l:x=-相切,又以AB为直径的圆与直线x=-1相切,故直线x=-1即为抛物线的准线,∴p=2,∴抛物线方程为y2=4x.由题知直线AB的方程为y=(x-1),代入y2=4x中,∴3(x-1)2=4x,即3x2-10x+3=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2=,∴AB=AF+BF=x1+x2+p=+2=,故选B.微突破(四)　抛物线的焦点弦 1.D　[解析] 由2x2=y得x2=y,则p=,焦点F,准线方程为y=-,设线段AB的中点为P(x0,y0),分别过A,P,B三点作准线的垂线,垂足分别为A',Q,B',由题意得AA'+BB'=AB=4,PQ==2.又PQ=y0+,∴y0+=2,∴y0=. 2.C　[解析] 由题知p=2,由抛物线焦点弦的性质可得+==1. 3.D　[解析] 易 ... ...