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课件网) 4.3 等比数列 4.3.1 等比数列的概念 探究点一 用定义判断等比数列 探究点二 等比数列基本量的计算 探究点三 等比中项及其应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 理解等比数列的概念,能用文字语言、符号语言、图形语言描述 等比数列的概念,能根据等比数列的定义判断已知数列是否是等比数 列或证明等比数列. 知识点一 等比数列的相关概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的 _____的____都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比 数列，这个常数叫作等比数列的_____，公比通常用字母 表 示 符号 语言 在数列 中，如果 成 立，则称数列为等比数列，常数 称为等比数列的公比 递推 关系 或 二 前一项 比 公比 知识点二 等比中项与等差中项的对比 等差中项 等比中项 定义 若，，成等差数列，则 叫作与 的等差中项 若，， 成_____数列，则 叫作与 的_____中项 定义式 公式 等比 等比 等差中项 等比中项 个数 与 的等差中项唯一 与 的等比中项有两个，且 互为相反数 备注 任意两个数与 都有等差中 项 只有当时，与 才有 等比中项 常用结论：在等比数列 中,从第2项起,每一项都是相邻两项的等 比中项.特别地,等比数列中的某一项 是与该项等距离的两项 ,的等比中项,即 . 续表 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若数列满足,则 是等比数列.( ) × （2）若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数,则该数列为 等比数列.( ) × （3）等比数列的首项、公比均不能为零.( ) √ （4）是,, 成等比数列的充要条件.( ) × 2.一个等比数列中所有奇数项的符号都是相同的，所有偶数项的符号 也是相同的，这句话正确么？ 解：正确. 探究点一 用定义判断等比数列 例1 已知为等比数列，其公比为 ．判断下列数列是否为等比数 列．如果是，求其公比；如果不是，请说明理由． （1）数列 ； 解:为等比数列，其公比为，所以， 则 为常数， 故数列是首项为，公比为 的等比数列. （2）数列 ． 解:当时，，故， 数列 不为等比数列； 当时， ， ，此时数列 是公 比为 的等比数列. 例1 已知为等比数列，其公比为 ．判断下列数列是否为等比数 列．如果是，求其公比；如果不是，请说明理由． 变式 将公比为的等比数列 依次取相邻两项的乘积组成的新数 列，，， ，则此数列____（填“是”或“不是”）等比 数列． 是 [解析] 由题意知，新数列为，则 ， 故新数列是公比为 的等比数列. 故填是. ［素养小结］ 判断一个数列是否为等比数列的方法 定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于 同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且 等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论． 探究点二 等比数列基本量的计算 例2 求出下列等比数列中的未知项. （1）2, ,8; 解：根据题意，得 , 所以或 . （2）,, . 解：根据题意，得解得 变式（1）等比数列中，若 ，则 的公比为( ) A.1 B.2 C. D.2或 [解析] 设等比数列的公比为 ， 因为 ， 所以， 又易知 ，所以，所以 .故选B. √ （2）［2025·江苏常州一中高二质检］设四个数中前三个数依次成 等比数列，其和为19，后三个数依次成等差数列，其和为12，则该 数列为_____． 25,,4,18或9,6,4,2 [解析] 根据后三个数成等差数列，和为12可设后三个数为 ,4, ，再根据前三个数成等比数列可得这四个数分别为, , 4,， 则由前三个数和为19可列方程得 ， 整理得，解得或 ，故该数列为25, ,4,18或9,6,4,2. ［素养小结］ 等比数列基本量运算要抓住基本量
，
，掌握好设未知数、列出方 程、解方程 ... ...
