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课件网) 6.1 空间向量及其运算 6.1.2 空间向量的数量积 探究点一 空间向量的数量积运算 探究点二 利用向量的数量积解决夹角问题 探究点三 利用投影向量解决空间向量的数量积 探究点四 利用空间向量的数量积求模 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.结合立体几何与空间向量的特征,知道投影向量的概念. 2.类比平面向量,能进行空间向量的数量积运算. 3.类比平面向量并借助空间图形,知道空间向量的有关运算律,能 运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题. 知识点一 空间向量的夹角 1.定义:，是空间两个非零向量，过空间任意一点，作 ， ，叫作向量与向量 的夹角，记作 ，如下图. 2.夹角的取值范围： （1）规定：_____. （2）如果_____，那么向量与 同向；如果_____，那 么向量与反向；如果_____，那么称与 互相垂直，并记作 . 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）向量与的夹角等于向量与 的夹角.( ) × [解析] 表示向量,的夹角,表示向量, 的夹 角,它们之间的关系为 . 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）若向量与的夹角为 ,则直线与的夹角也为 .( ) × [解析] 若向量与的夹角为 ,则直线与的夹角为 或 . 知识点二 空间向量的数量积 1.定义：设， 是空间两个非零向量，我们把数量_____ 叫作向量，的数量积，记作 ，即_____. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2.常用结论（， 为非零向量） （1） ___. （2） ____. （3） _ ____. 0 3.数量积的运算律 （1） ; （2） ; （3） . 知识点三 投影向量 1.向量在向量 上的投影向量 （1）定义：对于空间任意两个非零向量,,设向量 ， （如图），过点作，垂足为.上述由向量 得到 向量的变换称为向量向向量投影，向量称为向量 在向量 上的投影向量. （2）意义：，即向量,的数量积就是向量在向量 上的投影向量与向量 的数量积. 2.向量在平面 上的投影向量 （1）定义：如图，设向量，过, 分别 作平面 的垂线，垂足分别为， ,得向量 ,我们将上述由向量得到向量 的变换 （2）意义：，即空间向量,的数量积就是向量 在平面 上的投影向量与向量 的数量积. 称为向量向平面 投影,向量称为向量在平面 上的投影向量. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）对于向量,,若,则一定有或 .( ) × [解析] 非零向量,垂直时也有 . （2）对于非零向量,由,可得 .( ) × [解析] 由得 ，即 ，得不到 . （3）若,则 是钝角.( ) × [解析] 若,则是钝角或 . （4）已知,是夹角为 的两个单位向量,则向量在向量 上 的投影向量为 .( ) √ [解析] 向量在向量上的投影向量为 . 探究点一 空间向量的数量积运算 例1 如图所示,在棱长为1的正四面体中, , 分别是, 的中点,求: （1） ; 解： , . （2） ; 解： . 例1 如图所示,在棱长为1的正四面体中, , 分别是, 的中点,求: （3） ; 解： , . 例1 如图所示,在棱长为1的正四面体中, , 分别是, 的中点,求: （4） . 解： , , . 变式（1）（多选题）［2025·河南洛阳高二期中］已知正方体 的棱长为1，则( ) A. B. C. D. √ √ [解析] 如图，对于A，由图可知， ，A正 确. 对于C， ， C错误. 对于D，因为 平面， 平面 ，所以 ，即，D错误.故选 . 对于B， ， B正确. （2）正四面体的棱长为2,点是的重心,则 ____. [解析] 点是的重心, , 又正四面体的棱长为2, . ［素养小结］ （1）空间向量数量积运算的两种方法 ①已知
,
的模及
与
的夹角,直接代入数量积公式计算. ②如果要求的是关于
与
的多项式形式的数量积,可以先利用数量积 的运算律将多项式展开,再利用
及 ... ...
