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课件网) 6.2 空间向量的坐标表示 6.2.1 空间向量基本定理 探究点一 基底的判断 探究点二 用基底表示空间向量 探究点三 空间向量基本定理的应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.在平面向量基本定理的基础上,能借助投影进行向量分解,知道 空间向量基本定理. 2.知道基底、单位正交基底,并能在选定基底下进行向量的表示 及运算. 知识点一 空间向量基本定理及其推论 1.空间向量基本定理 如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量 ，存在唯一 的有序实数组，使 _____. 2.空间向量基本定理的推论 设，,,是不共面的四点，则对空间任意一点 ,都存在唯一的有 序实数组 ,使得 _____. 注意：由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的 非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量. 知识点二 基底的有关概念 1.基底与基向量：如果三个向量，， 不共面，那么空间的每 一个向量都可由向量，， 线性表示.我们把_____称 为空间的一个基底，_____叫作基向量. ，， ，， 2.正交基底与单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量_____ _____，那么这个基底叫作正交基底.特别地，当一个正交基底的 三个基向量都是_____时，称这个基底为单位正交基底，通常 用{,, }表示. 两两 互相垂直 单位向量 注意：（1）空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底， 基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下， 同一向量的表达式也有可能不同. （2）一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量， 二者是相关联的不同概念. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）空间中的任何一个向量都可以用三个给定的向量表示.( ) × [解析] 空间中的任何一个向量都可以用其他三个不共面的向量表示. 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）若为空间的一个基底,则,, 全不是零向量.( ) √ [解析] 若为空间的一个基底,则,,不共面,所以,, 全不是 零向量. 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）若向量,与任何向量都不能构成空间的一个基底,则与 不一 定共线.( ) × [解析] 由空间向量基本定理可知,只有不共面的三个向量才可以构成 空间的一个基底, 若向量, 与任何向量都不能构成空间的一个基底,则向量,与任何 向量都共面,故与 一定共线. 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （4）任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.( ) × [解析] 空间的一个基底是由三个不共面的向量构成的. 探究点一 基底的判断 例1 已知{,,}是空间的一个基底,且 , ,,试判断,, 能否构 成空间的一个基底. 解：假设,,共面,则存在实数 , 使得 ,即 . ,,}是空间的一个基底,,, 不共面, 此方程组无解,,, 不共面, ,, 能构成空间的一个基底. 变式（1）［2025·江苏海安中学期中］已知 平面 ， ，， ，则空间的一个单位正交基底可 以为( ) A. B. C. D. [解析] 因为 平面，， 平面，所以 ， . 因为，，，所以 ， 又，所以空间的一个单位正交基底可以为 .故选A. √ （2）（多选题）［2025·江苏苏州中学期中］若 是空间的一 个基底，则下列向量不可以构成空间的一个基底的是( ) A.,, B.,, C.,, D.,, √ √ √ [解析] 对于A，，因此向量,, 共 面，故不能构成空间的一个基底； 对于B， ，因此向量,, 共面， 故不能构成空间的一个基底； 对于C，假设向量,,共面，则 ，即 ，这与题设矛盾，假设不 成立，向量，， 可以构成空间的一个基底； 对于D，，因此向量,, 共面， 故不能构成空间的一个基底.故选 . ［素养小结］ 基底的判断思路:判断给出的三个向量能否构成空间的一个 ... ...
