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课件网) 6.3 空间向量的应用 6.3.2 空间线面关系的判定 第1课时 空间向量与平行关系 探究点一 直线与直线平行 探究点二 直线与平面平行 探究点三 平面和平面平行 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.能用直线的方向向量和平面的法向量刻画直线与直线、直线与 平面、平面与平面的平行. 2.能分析和解决一些立体几何中的平行问题,体会向量方法与综 合几何方法的共性和差异,体会直线的方向向量和平面的法向量的作 用,感悟向量是研究几何问题的有效工具. 知识点 用向量方法判定空间中的平行关系 设直线,的方向向量分别为,,平面 , 的法向量分别为, ,则 平行 关系 对应线面 图形 满足条件 线线 平行 _____ 平行 关系 对应线面 图形 满足条件 线面 平行 _____ 面面 平行 _____ 续表 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反.( ) √ [解析] 若两条直线平行,则它们的方向向量也平行,故它们的方向向量 的方向相同或相反. 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线 与平面平行.( ) √ [解析] 由线面平行的判定定理知,若平面外的一条直线的方向向量与 平面的法向量垂直,则该直线与平面平行. 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）若两条不同直线,的方向向量分别为 , ,则 .( ) √ [解析] 因为,所以，又，不重合，所以 . 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （4）若两个平面平行,则这两个平面的法向量一定平行.( ) √ [解析] 若两个平面平行,则这两个平面的法向量一定平行. 探究点一 直线与直线平行 例1 在长方体中，，分别是面对角线 ， 上的点，且，.求证： . 证明：如图所示，以，， }为正交基底，建 立空间直角坐标系 ， 设，，，则可得 ， ，，， ， . 由即，可得 ， 由，即，可得 ， . 又， ， 又与不重合， . 变式 如图，在平行六面体中， ， 分别是， 的中点，请选择恰当的基向量证 明： . 证明：取空间的一个基底为,, ，因为 ，，所以 ， 所以， 又，无公共点，所以 . 探究点二 直线与平面平行 例2 ［2025·江苏南通一中期中］如图，在四面体 中， 平面，， ， ，是的中点，是的中点，点 在棱上，且.证明：平面 . 证明：因为， 平面，所以 ， ，两两垂直. 以，， }为正交基底，建立如图所示的 空间直角坐标系 ， 设,，则 ，可得 ，，，， 因为是 的中点，所以， 又是 的中点，所以. 由，即 ，得 ， 可得 . 易知平面的一个法向量为 ，则 ， 又 平面，所以 平面 . 变式 ［2025·山东菏泽外国语学校高二月考］如图，在长方体 中，,, . （1）以，，}为正交基底建立空间直角坐标系 ， 写出平面 的一个法向量； 解：空间直角坐标系 如图所示， 则,, ， 故, . 设平面的法向量为 ， 则 令，则 ,，所以 ， 所以平面的一个法向量为 . 变式 ［2025·山东菏泽外国语学校高二月考］ 如图，在长方体中， , , . （2）线段的中点为，求证： 平面 . 证明：由（1）可得,，则 ，故 . 因为，所以， 又 平面，所以平面 . ［素养小结］ 用向量法证明线面平行的常见思路:①证明直线的方向向量与平面内 的某一向量是共线向量且直线不在平面内;②证明直线的方向向量可 以用平面内两个不共线的向量表示,且直线不在平面内;③证明直线的 方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内. 探究点三 平面和平面平行 例3 如图，在直四棱柱 中，底 面为等腰梯形，， ， ，，是棱 的中点.试用 向量法证明：平面平面 . 证明：因为底面为等腰梯形，，， 是棱 的中点，所以，所以 为正三角形，所以 ... ...
