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课件网) 6.3 空间向量的应用 6.3.2 空间线面关系的判定 第2课时 空间向量与垂直关系 探究点一 直线与直线垂直 探究点二 直线与平面垂直 探究点三 平面与平面垂直 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.能用直线的方向向量和平面的法向量刻画直线与直线、直线与平面、 平面与平面的垂直. 2.能分析和解决一些立体几何中的垂直问题,体会向量方法与综合几 何方法的共性和差异,体会直线的方向向量和平面的法向量的作用,感 悟向量是研究几何问题的有效工具. 知识点 用空间向量描述空间线面的垂直关系 设直线,的方向向量分别为,,平面 , 的法向量分别为, ,则 垂直关系 对应线面 图形 满足条件 线线垂直 _____ 垂直关系 对应线面 图形 满足条件 线面垂直 _____ 面面垂直 _____ 续表 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若两条直线的方向向量垂直,则这两条直线垂直.( ) √ （2）当直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时,直线与 平面垂直.( ) √ （3）若两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直.( ) √ （4）若直线,的方向向量分别为, ,则 .( ) √ 探究点一 直线与直线垂直 例1 如图所示，在直三棱柱 中，侧面 为正方形，，,分别为 和 的中点，为棱上的点， ，证 明： . 证明：方法一：因为三棱柱 是直三棱 柱，所以 平面 ， 又 平面，所以 ， 因为， ， 所以， 又,, 平面 ， 所以 平面 ， 所以,, 两两垂直. 以,, }为正交基底，建立空间直角坐标系 ，如图， 则,, ,,, ，, ， 由题设得， 因为 , ， 所以 ， 所以，即 . 方法二：因为，，所以 ， 故， ， 所以 ， 所以，则 . 变式 如图所示，在三棱台 中，平面 平面， ， . 证明： . 证明：作，交于 ， 因为平面 平面，且平面 平面 ， 平面，所以 平面 . 以为原点，的方向为轴正方向， 的方向 为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 设，因为 ，所以 ， 所以，所以,, ， 所以， ， 因为，所以 ， 即 ， 又因为，所以 . ［素养小结］ 在探究空间的垂直关系时,通常的做法是看到直线找直线的方向向量, 看到平面找平面的法向量,然后通过向量的运算得到直线的方向向量与 直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、平面的法向量与 平面的法向量之间的关系,从而确定线线、线面、面面之间的关系. 探究点二 直线与平面垂直 例2 ［2025·江苏启东期末］如图，在直三棱柱 中,,,为 的中 点，为侧棱上一点，且 ，三棱柱 的体积为32.过点作 ，垂足 为点，求证： 平面 . 证明：在直三棱柱中， 平面 ， 又, ， 所以三棱柱 的体积 ，解 得 . 由题意知,, 两两垂直， 以,, }为正交基底，建立空间直角坐标系 ，如图所示， 则,, , ,, ，则 ， . 设，则 ， 故 . 因为，所以 ， 所以，解得，则 ， 所以, . 因为 ， ， 所以,. 又因为 平面 ， 平面，， 所以 平面 . 变式 ［2025·江苏扬州大学附中高二月考］如图， 在四棱锥中， 底面 ， ，， ， ，为上一点，且 .求证： 平面 . 证明：由题可知，，两两垂直，以 ， ， }为正交基底，建立如图所示的空间直角坐 标系 ， 则，，， ， ， 所以，， . 因为，所以 ，所以 ， 因为 ，， 所以， ， 即， ， 又因为，, 平面 ， 所以 平面 . ［素养小结］ 用向量法证明线面垂直的方法:①证明直线的方向向量与平面内的两条 相交直线的方向向量垂直;②证明直线的方向向量与平面的法向量平行. 探究点三 平面与平面垂直 例3 ［2025·江苏徐州期末］如图，在四棱锥 中， 平面， ， ，，， 为 的中点，点在棱上，且 .求证：平 面 平面 . 证明：如图，以，， }为正交基底， 建立空间直角坐标系 ， 则，，， ， ， ... ...
