(
课件网) 6.3 空间向量的应用 6.3.3 空间角的计算 探究点一 求异面直线所成的角 探究点二 求直线和平面所成的角 探究点三 求平面与平面的夹角 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.知道两个相交平面夹角的含义,借助直线的方向向量和平面的 法向量,能求直线与直线、直线与平面所成的角,平面与平面的夹角. 2.能分析和解决一些立体几何中的角度问题,体会向量方法与综 合几何方法的共性和差异,体会直线的方向向量和平面的法向量的作 用,感悟向量是研究几何问题的有效工具. 知识点 空间角 设直线,的方向向量分别为,,平面 , 的法向量分别为, ,则 空间图形 范围 向量法 几何法 异面 直线 所成 的角 _____ 平移交 于一点, 解三角 形 空间图形 范围 向量法 几何法 直线 与平 面所 成的 角 _____ _____ _____ _____ 过直线 上一点 作平面 的垂线, 解三角 形 续表 空间图形 范围 向量法 几何法 二面 角 _____ _____ _____ _____ 作两平 面的垂 线,解三 角形 续表 注意：若,分别为平面 , 的法向量， ， 则二面角的平面角的大小为或，即二面角 等于 它的两个半平面所在平面的法向量的夹角或夹角的补角. ①当法向量与 的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角 的大小等于 的大小. ②当法向量,的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角 的大小等于 的大小. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）异面直线所成的角与其方向向量的夹角相等.( ) × [解析] 当两个方向向量的夹角是锐角或直角时,向量的夹角与异面直 线所成的角相等; 当两个方向向量的夹角为钝角时,向量的夹角与异面直线所成的角互补. 故错误. 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）若平面 的法向量为,直线的方向向量为,直线与平面 所 成的角为 ,则 .( ) × [解析] ,故错误. 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）二面角的大小等于平面与平面夹角的大小.( ) × [解析] 两个平面相交时所形成的四个二面角中，不大于 的二面 角称为平面与平面的夹角，故错误. 探究点一 求异面直线所成的角 例1 如图，在四棱锥中，底面 为正 方形， 底面，，为 上一 点，且，则异面直线与 所成角的余 弦值为( ) A. B. C. D. √ [解析] 以，， }为正交基底，建立如 图所示的空间直角坐标系， 设 ， 则，可得 ， ，，， 根据 ，求得，所以 ，， 可得 ， ， 所以异面直线与 所成角的余弦值为 .故选B. 变式 在直三棱柱中，， ，则 异面直线与 所成角的大小为( ) A. B. C. D. [解析] 由题可知，在直三棱柱中， ， ， 设，可得 ，， ， ， 可得， ， √ 所以 ，，所以， ，. 设异面直线与 所成的角为 ， ，所以 ， ，所以 .故选C. ［素养小结］ 用向量法求异面直线所成的角的一般思路：在异面直线
与
上分别 取点
,
和
,
,则
与
分别为直线
,
的一个方向向量,若异面直线
,
所成的角为
,则
. 运用向量法求异面直线所成的角常有两种方法. ①基底法:在一些不适合建立空间直角坐标系的题型中,经常采用取基 底的方法.在由公式
求向量
,
的夹角时,关键是求出
,
与
,一般是把
,
用基向量表示出来,再求有关的量. ②坐标法:根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系,写出相关各点的 坐标,利用坐标法求异面直线所成的角,避免了传统找角或作角的步骤, 使过程变得简单. 探究点二 求直线和平面所成的角 例2 如图，在直三棱柱中，， ， ，求直线与平面 所成角的正弦值. 解：如图，以，， }为正交基底，建 立空间 ... ...
