3.3.2 空间向量运算的坐标表示及应用(1) 课件(共18张PPT)

数学北师大版 高二上 3.3.2 空间向量运算的坐标表示及应用(1) 一、空间向量运算的坐标表示 空间向量基本定理 如果向量????，????，????是空间三个不共面的向量，????是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组????，????，????，使得????=????????+????????+????????． ? 如果向量????，????，????是空间三个不共面向量，那么所有的空间向量组成的集合就是????????=????????+????????+????????，????，????，????∈????， 这个集合可以看成是由向量????，????，????生成的，这时????，????，????叫作空间的一组基，其中????，????，????都叫作基向量． ? 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一组基． 如果向量中存在零向量，则不能作为基； 如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基． 在空间直角坐标系?????????????????中，分别沿????轴、????轴、????轴正方向作单位向量????，????，????，这三个互相垂直的单位向量就构成了空间向量的一组基????，????，????，这组基叫作标准正交基． ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 根据空间向量基本定理，对于任意一个向量????，都存在唯一的三元有序实数组????，????，????，使得????=????????+????????+????????． 反之，任意给出个三元有序实数组????，????，????，也可找到唯一的一个向量????=????????+????????+????????与之对应， ? 空间向量???? ? 三元有序实数组????，????，???? ? 一一对应 ???????? ? ???????? ? ???????? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???????? ? ???????? ? ???????? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 把三元有序实数组????，????，????叫作向量????在标准正交基????，????，????下的坐标，记作 ????=????，????，????． ? 单位向量????，????，????都叫作坐标向量． ????????，????????，????????实际上分别是向量????在????，????，????方向上所作的投影向量， ????，????，????分别是向量????在????，????，????方向上所作投影向量的数量． ? 对于空间任意一个向量????，一定可以把它平移，使它的起点与原点????重合，得到????????=????．若点????的坐标为????，????，????，由空间向量的加法不难得出????????=????????+????????+????????，于是????????的坐标也是????，????，????． 向量????????或????的坐标恰是点????在空间直角坐标系?????????????????中的坐标????，????，????． ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 若点????的坐标为????1，????1，????1，点????的坐标为????2，????2，????2，那么，????????的坐标如何表示？ ? 因为向量????????与点????的坐标相同，?????????=????1，????1，????1， 即，????????=????1????+????1????+????1????， 同样地，????????=????2，????2，????2，????????=????2????+????2????+????2????． 又????????=?????????????????=????2????+????2????+????2?????????1????+????1????+????1???? =????2?????1????+????2?????1????+????2?????1???? ?????????=????2?????1，????2?????1，????2?????1． ? 一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． 设向量????=????1，????1，????1，????=????2，????2，????2，根据空间向量的运算法则，不难得到： ? （1）????+????=????1+????2，????1+????2，????1+????2； （2）?????????=????1?????2，????1?????2，????1?????2； （3）????????=????????1，????????1，????????1，????∈????； （4）????·????=????1????2+????1????2+????1????2． ? 结合空间向量坐标的定义，我们以数量积运算的坐标表示为例进行证明： 证明：∵ ... ...