3.4.1直线的方向向量与平面的法向量(1) 课件(共13张PPT)

数学北师大版 高二上 3.4.1直线的方向向量与平面的法向量(1) 在前面的学习中，我们认识到用空间向量解决立体几何问题的基本步骤是：首先将立体几何问题转化为向量问题，然后运用向量方法求解，最后再回到立体几何问题．几何特征的代数表述起着重要的作用． 我们知道，立体几何研究的基本对象是点、直线、平面，以及由它们组成的空间图形，因此用空间向量解决立体几何问题时，首先需要把点、直线、平面用向量分别表示出来． 空间当中点的位置一定是相对于某一固定参照物来说的． 如图，在空间中，我们取一定点????作为基点，那么空间中任意一点????就可以用向量????????来表示， 我们把向量????????称为点????的位置向量． ? ???? ? ???? ? 如何用向量表示空间中的一条直线????? ? 由两点确定一条直线可知,若给定直线上的两点,或者给定直线上的一点及这条直线的方向,则这条直线的位置也就唯一确定了. ???? ? ???? ? ???? ? 如图，设点????，????是直线????上不重合的任意两点，称????????为直线????的方向向量． ? ???? ? 与????????平行的任意非零向量????也是直线????的方向向量， 故一条直线有无数个方向向量，且这些方向向量都平行． ? (多选)若点????1，0，?1，????2，1，2在直线????上，则直线????的一个方向向量是( ) A.2，2，6 B.1，1，3 C.3，1，1 D.?3，0，1 ? 解：因为点????，????在直线????上，????????=1，1，3，所以向量λ1，1，3，λ∈R都是直线????的方向向量．故选AB． ? ???? ? 如图，已知点????是直线????上的一点，非零向量????是直线????的一个方向向量， ? ???? ? ???? ? ???? ? 显然直线????的位置被唯一确定， ? 即，空间中任意一条直线????的位置可以由直线????上的一个定点和该直线的方向向量唯一确定． ? 对于直线????上的任意一点????，一定存在实数????，使得????????=????????． ? 直线????的向量表示 ? 反之，由几何知识不难确定，满足上式的点????一定在直线????上． ? 在空间直角坐标系中，已知点????4，2，0，????1，3，3，点????是线段????????上的一点，且????????=12????????，求点????的坐标． ? 解：设点????的坐标为????1，????1，????1， 由题意可知：????????=?3，1，3，且????????=12????????， ∴????1?4，????1?2，????1=12?3，1，3． 即，????1?4=?32????1?2=12????1=32，解得????1=52????1=32????1=32． ∴点????的坐标为52，32，32． ? 在空间直角坐标系中，已知点????1，1，0，????2，3，3，????0，1，2，点????为直线????????上的一点，且????????⊥????????，求????????????????． ? 解：依题意知，????????=1，2，3，????????=1，0，?2． 因为点????为直线????????上的一点，所以存在实数????，使得????????=????????????， 则????????=????????+????????=????????+????????????=1+????，2????，?2+3????． 由????????⊥????????，得????????·????????=0， 即1+????+22????+3?2+3????=0，解得????=514．∴????????????????=514． ? 例3求证:点P在直线AB上的充要条件是对空间任意一个确定的点О,存在实数t使得????????=1?????????????+????????????. 证明如图,根据直线的向量表示可知点P在直线AB上等价于存在实数t ,使得????????=????????????. ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 又因为????????=?????????????????，????????=?????????????????， 所以?????????????????=?????????????????????， 整理，得????????=1?????????????+????????????． 即，点????在直线????????上的充要条件是????????=1?????????????+????????????． ? 如图，在三棱台?????????????????1????1????1中，????????=2????1????1，????1????=2????????1，????????=????????1，设????????=????，???? ... ...