3．2 复数的四则运算 最新课程标准 掌握复数代数表示式的四则运算． 学科核心素养 1.掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算的运算法则．(数学抽象、数学运算) 2．能利用复数代数形式的四则运算法则进行加、减、乘、除混合运算．(数学运算) 第1课时 复数的四则运算(1) 导学 教材要点 要点一 复数的加法与减法 1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)，则z1＋z2＝_____，z1－z2＝_____． 2．加法运算律：设z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝_____，(z1＋z2)＋z3＝_____． 状元随笔 复数加法运算的理解 (1)复数的加法中规定，两复数相加，是实部与实部相加，虚部与虚部相加，复数的加法可推广到多个复数相加的情形． (2)在这个规定中，当b＝0，d＝0时，则与实数的加法法则一致． (3)实数加法的交换律、结合律在复数集C中仍然成立． 要点二 复数的乘法与乘方 1．复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_____． 2．复数乘法的运算律 对任意复数z1、z2、z3∈C，有 交换律 z1·z2＝_____ 结合律 (z1·z2)·z3＝_____ 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝_____ 3．复数的乘方 对任意的复数z，z1，z2及正整数m，n，有 zm·zn＝zm＋n， (zm)n＝zmn， (z1·z2)n＝. 特别地，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1，其中n∈Z. 状元随笔 (1)两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可． (2)复数的乘法可以应用实数运算中的乘法公式，如平方差公式，完全平方公式等． 练习 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两个复数的和(或差)仍然是一个确定的复数．( ) (2)两个虚数的和(或差)一定是虚数．( ) (3)复数的加法满足结合律，但减法不满足结合律．( ) (4)两个虚数相乘的结果可能为实数．( ) 2．(3＋2i)－(2＋i)＋(1－i)＝( ) A．2＋2i B．4－2i C．2 D．0 3．复数i(2＋i)的虚部为_____． 导思 题型一 复数的加减运算 例1 (1)计算(3＋5i)＋(3－4i)＝_____； (2)计算＋(2－i)－＝_____； (3)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z. 总结 (1)复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合并，虚部与虚部合并，注意符号是易错点； (2)复数的加、减运算结果仍是复数； (3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算； (4)实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用． 跟踪训练1 (1)若z＋5－6i＝3＋4i，则复数z＝( ) A．－2＋10i B．－1＋5i C．－4＋10i D．－1＋10i (2)已知i是虚数单位，则复数z＝(3＋i)＋(－3－2i)的虚部是( ) A．1 B． C．－1 D．－i (3)设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝_____． 题型二 复数的乘法与乘方运算 例2 计算： (1)(1＋i)(2－i)(3＋2i)； (2)i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2 021. 总结 (1)复数乘法运算的技巧 ①复数乘法与实数多项式乘法类似，在计算两个复数的乘积时，先按照多项式的乘法展开，再将i2换成－1，最后合并同类项即可． ②三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致． ③在复数乘法运算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．例如(a±b)2＝a2±2ab＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等． (2)利用i幂值的周期性解题的技巧 ①熟记i幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0，1，2，3时，相应的幂值分别为1，i，－1，－i. ②对于n∈N*，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0. 跟踪训练2 (1)复数i(2＋i)的实部为( ) A．－1 B．1 C．－2 D．2 (2)已知i为虚数单位，则i2 020＋i2 021＝_____． 题型三 复数加、减、乘和乘方的综合运算 例3 (1)(1＋2i)(1－2i)＋ ... ...
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