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课件网) 数学北师大版 高二上 4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系（2） 两个平面相交形成四个二面角，二面角的范围 如何用空间向量研究两个平面所成的角？ α β 如下图所示，过二面角内一点作于点，作于点，则（或）是平面的一个法向量，（或）是平面的一个法向量.思考二面角的平面角与两个平面的法向量的关系？ 设平面交直线于点，连接，不难证明：，于是就是二面角的平面角.因为在四边形中，，所以. 如下图所示，过二面角内一点作于点，作于点，则（或）是平面的一个法向量，（或）是平面的一个法向量.思考二面角的平面角与两个平面的法向量的关系？ 结论：一般地，已知，分别为平面，的法向量，则二面角的平面角与两法向量所成角相等或互补. 即或 故 如图,平面与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面β的夹角. 设平面与平面β的夹角为,则 cos = 如下图，在空间直角坐标系中有单位正方体，求二面角的平面角. 解：由平面，可知是平面的一个法向量.因为， 所以，. 设是平面的一个法向量，则 即 所以取， 得. 由上图可知，二面角的平面角为锐角，因此，平面角为. 用空间向量求平面与平面的夹角的步骤与方法 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 ①转化为求平面与平面的法向量的夹角 ②计算的值 ③平面与平面夹角的余弦值的值 如下图已知二面角的平面角为，点在棱上， ，求的长. 解：因为，二面角的平面角为， 所以，.因为，所以 所以 . 四棱锥中，底面是以为中心的菱形，底面， 为上一点，且.求二面角的正弦值. o y z x 因为，同时利用已知条件可知，所以向量与向量所成的角就是二面角的大小， 解：建立如下图所示的空间直角坐标系，则. . 解得，sin〈n1，n2〉＝.所以二面角的正弦值为 1．两个平面夹角的定义： 空间中，平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角，二面角可以用二面角的平面角来度量． 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 ①转化为求平面与平面的法向量的夹角 ②计算的值 ③平面与平面夹角的余弦值的值 2．两个平面夹角的向量求法： 本课小结 作业：教材第134页练习第1-5题． 谢谢 21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？ 欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！ 详情请看： https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
