4．4.2 平面与平面垂直 第1课时 平面与平面垂直的判定 导学 教材要点 要点一 二面角 二面角 的定义 从一条直线出发的_____所组成的图形叫作二面角 二面角的 相关概念 这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面 二面角 的画法 二面角 的记法 二面角αlβ或αABβ或PlQ或PABQ 二面角的平面角 定义 在二面角αlβ的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角 图形 范围 ∠AOB的范围是_____ 状元随笔 (1)二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量． (2)二面角的平面角的大小与O点选取无关． 要点二 两个平面互相垂直的定义 1．两个平面相交，如果它们所成的二面角是_____角，就说这两个平面互相垂直． 2．平面α，β互相垂直，记作_____． 3．画法： 要点三 平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一个平面过另一个平面的_____，那么这两个平面垂直 ├a⊥β a α} α⊥β 状元随笔 (1)两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况．例如正方体中任意相邻两个面都是互相垂直的． (2)两个平面垂直和两条直线互相垂直的共同点：都是通过所成的角是直角定义的． (3)判定定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线． 练习 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)二面角的平面角所确定的平面与二面角的棱垂直．( ) (2)对于确定的二面角而言，平面角的大小与顶点在棱上的位置有关．( ) (3)已知一条直线垂直于某一个平面，则过该直线的任意一个平面与该平面都垂直．( ) (4)平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β.( ) 2．在二面角αlβ的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角αlβ的平面角，则必须具有的条件是( ) A．AO⊥BO，AO α，BO β B．AO⊥l，BO⊥l C．AB⊥l，AO α，BO β D．AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β 3．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有_____对． 导思 题型一 二面角及其平面角的概念 例1 (多选)下列命题正确的是( ) A．两个相交平面组成的图形叫做二面角 B．异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补 C．二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角 D．二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 总结 (1)要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致． (2)要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面内的角的联系与区别． (3)可利用实物模型，作图帮助判断． 跟踪训练1 若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角( ) A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．关系无法确定 题型二 求二面角的大小 例2 如图，在正方体ABCDA′B′C′D′中： (1)求二面角D′ABD的大小； (2)求二面角A′ABD的大小． 总结 (1)求二面角的关键是要找出二面角的平面角，而找平面角的关键是要找到二面角的棱上一点并分别在两个面内与棱垂直的两条射线． (2)由于二面角的平面角的大小与棱上一点的位置无关，所以在具体问题中，这个点经常选在一些特殊的位置，如线段的中点． 跟踪训练2 在四棱锥VABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面是腰长为3的等腰三角形，则二面角VAB C的余弦值的大小为( ) A． B． C． D． 题型三 平面与平面垂直的证明 角度1 利用面面垂直的定义证明 例3 如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD. 证明：平面ACD⊥平面ABC. 总结 证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是： (1)找出两相关平面的平 ... ...
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