第四章 立体几何初步 章末复习课 考点一 空间中的平行关系 1．空间中的平行主要有线线平行、线面平行、面面平行，主要考查在空间几何体中证明线面平行、面面平行以及线线平行． 2．通过线线平行、线面平行、面面平行之间相互转化的考查，提升学生的直观想象和逻辑推理素养． 例1 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，M、N、Q分别为BC、PA、PB的中点． (1)证明：平面MNQ∥平面PCD； (2)在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 跟踪训练1 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证： (1)直线SC∥平面A1BD； (2)平面EFG∥平面BDD1B1. 考点二 空间中的垂直关系 1．主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，以及线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的联系与转化． 2．通过线线垂直、线面垂直、面面垂直之间相互转化的考查，提升学生直观想象和逻辑推理素养． 例2 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，若PA＝PD，平面PAD⊥平面ABCD. (1)求证：AD⊥PB； (2)若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论． 跟踪训练2 如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4. (1)求证：AC⊥平面BCE； (2)求证：AD⊥AE. 考点三 简单几何体的表面积与体积 1．主要考查多面体、旋转体的表面积，旋转体的侧面展开图，柱体、锥体、台体的体积，球的表面积和体积，不规则几何体常用转换法、分割法、补形法等进行求解． 2．通过对空间几何体的表面积与体积的考查，提升学生的数学运算素养． 例3 如图所示，在四棱锥PABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1，设M，N分别为PD，AD的中点． (1)求证：平面CMN∥平面PAB； (2)求三棱锥ACMN的侧面积． 跟踪训练3 如图，已知三棱锥APBC，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝4，PA⊥PC，D为AB的中点，且△PDB为正三角形． (1)求证：BC⊥平面PAC； (2)求三棱锥DPBC的体积． 第四章 立体几何初步 章末复习课 考点聚集·分类突破 例1 解析：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，M、N、Q分别为BC、PA、PB的中点， ∴NQ∥AB∥CD，MQ∥PC， 又NQ 平面PCD，CD 平面PCD，MQ 平面PCD，PC 平面PCD， ∴NQ∥平面PCD，MQ∥平面PCD， ∵NQ∩MQ＝Q， 且NQ、MQ 平面MNQ， ∴平面MNQ∥平面PCD. (2)存在点E是线段PD的中点，使得MN∥平面ACE，且＝.证明如下： 取PD中点E，连接NE，CE， ∵N、E、M分别是AP，PD，BC的中点，∴NE∥AD，NE＝AD，且BC∥AD，BC＝AD，即MC∥AD，MC＝AD， ∴NE∥MC，NE＝MC，∴四边形MCEN是平行四边形， ∴MN∥CE， ∵MN 平面ACE，CE 平面ACE，∴MN∥平面ACE，且＝. 跟踪训练1 证明：(1)连接AC与BD交于点O，连接A1S，A1O，则A1S∥OC，且A1S＝OC，则四边形A1SCO为平行四边形，所以SC∥A1O， ∵SC 平面A1BD，A1O 平面A1BD， ∴SC∥平面A1BD. (2)连接SB，因为G，E分别是SC，BC中点，所以GE∥SB， 又因为SB 平面BDD1B1，GE 平面BDD1B1， 所以GE∥平面BDD1B1， 同理EF∥平面BDD1B1， 因为GE，EF 平面EFG，且GE∩EF＝E， 所以平面EFG∥平面BDD1B1. 例2 解析：(1)如图，取AD的中点O，连接PO，BO，BD， 因为PA＝PD，所以PO⊥AD. 因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°， 所以△ABD是等边三角形． 又O是AD的中点，所以AD⊥OB. 又OB∩OP＝O， 所以AD⊥平面POB. 因为PB 平面POB，所以AD⊥PB. (2)当F是棱PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD，连接OE，OC. 因为在菱形ABCD中，E为BC的中点，O是AD的中点， 所以DO∥CE，DO＝CE， 所以四边形DOEC ... ...
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