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课件网) 数学北师大版 高一上 例1 图是某高速公路加油站的图片,加油站在地下常用圆柱体储油罐储存汽油等燃料.储油罐的长度d,截面半径r是常量,油面高度h 油面宽度w、储油量V是变量. 储油量V与油面高度h存在着依赖关系,也与油面宽度w存在着依赖关系. 对于油面高度h的每一个取值,都有唯一的储油量V和它对应.但是,取一个油面宽度w的值,却对应着两个储油量V. 2.1生活中的变量关系 如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的改变引起变量y的改变，则这两个变量是依赖关系． 例2 自2008年京津城际列车开通运营以来,高速铁路在我国迅猛发展.截至2017年年底,中国高铁运营里程突破25 000 km.图2-2表示的是中国高铁年运营里程的变化. 观察图2-2,不难看出: (1)随着时间的变化,高铁运营里程在变化,它与年份存在着依赖关系﹔ (2〉从2008年到2017年,高铁年运营里程是不断增加的,与前一年相比,2014年增长得最多. 在初中数学中,我们曾学习过:如果在一个变化过程中,有两个变量x和y,对于变量x的每一个值,变量y都有唯一确定的值和它对应,那么y就是x的函数,其中x是自变量,y是因变量. 在现实生活中,凡是要确定两个变量具有函数关系,就要判断“对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应”. 依照这个概念,在以上两个例题中,储油量V是油面高度h的函数,高铁运营里程是年份时间的函数,但储油量V不是油面宽度w的函数. 例3 弹簧的伸长量x与弹力y满足函数关系y=kx,其中k为劲度系数.对于变量“伸长量”的每一个值,变量“弹力”都有唯一确定的值和它对应,弹力y是伸长量x的函数. 例4表2-1记录了几个不同气压下水的沸点: 对于变量“气压”的每一个值,变量“沸点”都有唯一确定的值和它对应,沸点是气压的函数. 练习：下列各组中两个变量间之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？ （1）球的体积和它的半径； （2）y2=2x, x为自变量，y是因变量 （3）速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间； （4）家庭的收入与其消费支出； （1）球的体积V与半径r间存在的关系，是函数． （2）对于x的一个值，y的值有二个不是唯一的，有依赖关系，但不是函数。 （3）是，在速度不变的情况下，行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系． （4）家庭收入与其消费支出间存在关系，但具有不确定性．故不是函数。 例5 绿化可以改变小环境气候.某市有甲、乙两个气温观测点,观测点甲的绿化优于观测点乙,图中是这两个观测点某一天的气温曲线图.为了方便比较,将两条曲线画在了同一平面直角坐标系中.每一条曲线都表示了一个函数关系,反映的都是对于“时间”的每一个值,都有唯一确定的“气温”值和它对应. 例6某地电力公司为鼓励市民节约用电,采取阶梯电价,即按月用电量分段计费办法.居民每月应缴电费y(单位:元)与用电量x(单位:kW·h)的关系是 0.4883 , 0240, y= 0.538 3-12, 240400, 0.7883x-112,400. 对于变量“用电量(x)”的每一个值,变量“应缴电费(y)”都有唯一的值与之对应,所以应缴电费是用电量的函数,如图2-4. 本题的函数，一般叫作分段函数.在生活中,有很多可用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税的税率等. 给定范围内，对于自变量x的取值范围不同所对应的函数关系也不同，我们称这样的函数为分段函数． 生活中存在着许许多多的函数关系.在很多时候,正是函数概念中的关键词“每一个”“唯———"“对应”恰当地反映了事物特征.例如: 一定量的水银,温度与其体积间存在函数关系,温度越高,水银的体积越大.因此,可以用这个体积表示温度,这就是制造温度计的依据. 在银行,给定本金和利率后,活期存款的利息依存款的天数而定,利息是天数的函数,天数越多,利息就越多. 在田径比赛时, ... ...
