5.1 导数的概念及其意义 教学设计及课后反思

5．1 导数的概念及其意义（单元教学设计） 一、【单元目标】 （1）通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想． （2）体会极限思想． （3）通过函数图象直观理解导数的几何意义． 二、【单元知识结构框架】 三、【学情分析】 本节课面对的学生群体已经具备了一定的数学基础，对函数的概念、性质以及图像有了初步的了解．然而，导数作为一个新的数学概念，对学生来说可能相对抽象和难以理解．因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际出发，通过具体实例来感受导数的产生背景和实际意义．同时，要关注学生的个体差异，针对不同层次的学生采取不同的教学策略，确保每位学生都能理解并掌握导数的概念及其在计算、解决实际问题中的应用，为后续的数学学习打下坚实的基础． 四、【教学设计思路/过程】 课时安排：约4课时 教学重点：导数的概念及其几何意义，极限思想． 教学难点：极限思想，导数概念，导数符号． 教学方法/过程： 五、【教学问题诊断分析】 环节一、情景引入，温故知新 情景1：同学们，大家平时在高速路上可能会经常看到“区间测速”的提示牌，这是为了提醒我们司机朋友要安全驾驶．区间测速其实是通过测量你在一段固定路程上所用的时间，来计算出你的平均速度．另外，大家可能也常听到家长们谈论汽车的油耗，比如“你的车几个油？”这里的“几个油”指的是汽车每行驶百公里所消耗的油量．而有些汽车还能显示瞬时油耗，即当前时刻的油耗情况．今天，我们就一起来深入探讨一下生活中的这种变化率问题，看看它是如何在我们身边无处不在地发挥着作用的． 环节二、抽象概念，内涵辨析 1．平均速度 问题1：在高台跳水中，运动员相对于水面的高度与起跳后的时间存在函数关系， 根据上述探究，你能求该运动员在内的平均速度吗 【破解方法】当时， 当时， 当时，； 虽然运动员在这段时间里的平均速度是，但实际情况是，该运动员仍在运动，可以说明平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 【归纳新知】平均变化率问题 （1）变化率 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”．如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； （2）平均变化率 一般地，函数在区间上的平均变化率为： 知识点诠释： ①本质：如果函数的自变量的“增量”为，且，相应的函数值的“增量”为，，则函数从到的平均变化率为 ②函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势．即递增或递减幅度的大小． 对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移从秒到秒的平均变化率即为秒到秒这段时间的平均速度． （3）如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和 ②作商：对所求得的差作商，即． 知识点诠释： （1）是的一个“增量”，可用代替，同样． （2）是一个整体符号，而不是与相乘． （3）求函数平均变化率时注意，，两者都可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零．若函数为常函数，则． 2．瞬时速度 问题2：我们也发现了高速路上区间测速的弊端，因为如果某人发现超速了，他只需踩下刹车，让车辆低速行驶一段时间即可，你认为，我们应该如何改进高速路上的区间测速问题？ 【破解方法】由可知，我们可以减小路程区间的长度，在最小路程下，看所用的时间，或者在较少的相同时间内，看汽车所经过的路程，这样似乎都不可避免违法行为的产生，于是，我们有了一个大胆的想法，如果我们能测量汽车的瞬时速度就好了．我们把函数值的增量记为，即，自变量的增量记为，即，这里的可以看成是的一个增量，可用来表示，则平均变化率可记为，我们发现如果 ... ...