6.3.1二项式定理 教学设计（表格式）—2025-2026学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.3.1二项式 学情分析： 学生在学习《二项式定理》之前，已经掌握了排列组合的基本概念与原理，具备了一定的数学逻辑思维和抽象思维能力.然而，《二项式定理》的内容相对抽象，需要学生具备较强的逻辑推理能力和数学运算能力.在学习过程中，学生可能会遇到理解二项式定理的推导过程、运用定理解决实际问题等困难。因此，教师需要采用直观的教学方法，帮助学生理解定理的本质。 教学目标： 数学抽象：通过多项式乘法与组合计数的转化，理解二项式系数的本质. 数学运算：准确计算二项展开式中的特定项与系数，提升代数运算的严谨性. 逻辑推理：运用计数原理推导二项式定理，强化归纳与演绎思维. 数学建模：将实际问题转化为二项式展开问题，培养数学应用意识. 教学重难点： 教学重点：利用多项式运算法则和计数原理推导出二项式定理； 教学难点：理解二项式定理背后的组合数学意义。 课前任务： 复习组合数计算 计算以下组合数，并总结组合数的对称性规律： ①、、、 ①、、、、 手动展开低次多项式 用多项式乘法法则展开以下表达式： 1. 2.=_____ 观察展开式中的各项系数，与上述计算的组合数进行对比，尝试发现规律。 3.组合问题探究 假设从3个不同的盒子中各选一个字母（每个盒子中有字母），问： ①选到2个和1个的所有可能组合方式有多少种？ ②这一种组合方式对应的展开式中的哪一项？它的系数与组合数有何关系？ 4.思考题 若将的展开式写成： +____+___+____+ 请尝试用组合数的规律填写空格中的系数。 【设计意图】学生通过任务1-3完成知识回忆与规律发现，课堂中可快速进入“用组合原理推导二项式定理”的深度探究；任务4的思考题则通过“试误”暴露潜在混淆点（如混淆加法与组合数），为教师针对性讲解“项的位置与的对应关系”提供学情依据，最终实现高效课堂衔接。 教学过程： 1．情境引入 通过ai创设社会热点问题，并由此颁布本节课任务： 在应对全球环境挑战的大背景下，我们假设一个城市正推行一项关键的环保计划。目前我们确切知道今天是星期一，而在8的100次方天后，城市的碳排放量将达到一个重要的阈值。这个阈值能否顺利突破，关乎着城市未来的环境走向。现在，我们肩负着一项至关重要的任务：算出8的100次方天后究竟是星期几。 【资源与工具】ai对话模式 【设计意图】用“碳排放与星期关联”的场景，让二项式定理等数学工具具象化，直观体现数学在量化环保问题、支撑政策制定与评估中的实际价值，架起数学与现实环保的桥梁。 2．新知初探 带着问题预习：何为二项式定理？ 学生通过课前预习，自主在书本上找到答案———即的展开式。 师：如何探究的展开式？ 分析方法：由特殊到一般. 分析的展开过程，然后根据的展开过程，以此类推探究、....，由此猜想的展开式并加以验证. （一）猜想公式 角度一：多项式乘以多项式法则 预设：得到对应的展开式，如： 观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？ ①展开式共有项． ②各项的次数和都等于二项式的次数. ③字母按降幂排列，次数从递减到0；字母按升幂排列，次数从0递增到. 提问：一般情形下，当时，猜想并证明。 【设计意图】由特殊到一般，进行归纳猜想。让学生从已经学过的的情况开始，问题层层递进，将分析运算中的规律，运用到的情形，进一步猜想，推广到一般情况。用乘法法则分析乘积项的结构特征，先得到二项式定理的项数、次数和各项的结构特点。 分析展开后有哪些项？其各项的形式是什么？ 师生活动：学生自主思考。 教师总结：可以看到，是2个)相乘，只要从2个)中各选一个字母相乘，就得到展开式的一项．于是，根据乘法计数原理可得，的展开式共有2×2=4项，而且每一项都是的形式． 各项的系数分别是什么？如何才能更快速确定？ 教师引导：在 ... ...