课时提升作业 七十三 相似三角形的判定及有关性质 (45分钟 60分) 1.如图所示,在?ABCD中,点E为CD上一点,DE∶CE=2∶3,连接AE,BE,BD,且AE,BD交于点F,求S△DEF∶S△EBF∶S△ABF. 【解析】因为AB∥CD,所以△EDF∽△ABF, 所以==, 所以==, 又△DEF,△BEF分别以DF,BF为底时等高, 所以===. 故S△DEF∶S△EBF∶S△ABF=4∶10∶25. 2.(2016·郑州模拟)如图正方形ABCD的边长为4,点E,F分别为DC,BC的中点. (1)求证:△ADE≌△ABF. (2)求△AEF的面积. 【解析】(1)因为四边形ABCD为正方形, 所以AD=AB,∠D=∠B=90°,DC=CB. 因为点E,F为DC,BC的中点, 所以DE=DC,BF=BC, 所以DE=BF. 因为在△ADE和△ABF中, 所以△ADE≌△ABF(SAS). (2)由题知△ABF,△ADE,△CEF均为直角三角形, 且AB=AD=4,DE=BF=×4=2,CE=CF=×4=2, 所以S△AEF=S正方形ABCD-S△ADE-S△ABF-S△CEF =4×4-×4×2-×4×2-×2×2=6. 【加固训练】如图,在四边形ABCD中,点E是AB上一点,EC∥AD,DE∥BC,若S△BEC=1,S△ADE=3,求S△CDE的值. 【解析】因为EC∥AD, 所以S△DCE∶S△ADE=EC∶AD, 因为DE∥BC, 所以S△BCE∶S△CDE=BC∶ED, 又因为∠ECB=∠DEC=∠ADE,∠BEC=∠EAD, 所以△BEC∽△EAD, 所以EC∶AD=BC∶ED. 所以S△DCE∶S△ADE=S△BCE∶S△CDE,于是S△CDE=. 3.(2016·大同模拟)如图,在△ABC中,AB⊥AC,点D为BC的中点,DE⊥BC交AC于点F,交BA的延长线于点E. 求证:AD2=DE·DF. 【证明】因为AB⊥AC,点D为BC的中点, 所以AD=BC=DC, 所以∠2=∠C. 因为AB⊥AC,DE⊥BC, 所以∠C+∠B=90°,∠E+∠B=90°. 所以∠C=∠E,所以∠2=∠E. 又因为∠1=∠1,所以△DAE∽△DFA. 所以=,即AD2=DE·DF. 【加固训练】如图,在△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC,E为AC的中点,ED延长线交AB延长线于点F. 求证:AB·AF=AC·DF. 【证明】因为AB⊥AC,AD⊥BC, 所以△ABD∽△CAD, 所以=,∠1=∠C. 因为E是AC的中点, 所以DE=AC=EC,所以∠C=∠2. 因为∠2=∠3,所以∠1=∠3. 又因为∠F=∠F,所以△FBD∽△FDA, 所以=,所以=, 即AB·AF=AC·DF. 4.(2016·唐山模拟)如图,在△ABC中,D是AC的中点,E是线段BC延长线上一点,过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F,连接AE,CF. (1)求证:AF=CE. (2)若AC=EF,试判断四边形AFCE是什么样的四边形,并证明你的结论. 【解析】(1)在△ADF和△CDE中, 因为AF∥BE,所以∠FAD=∠ECD. 又因为D是AC的中点,所以AD=CD. 因为∠ADF=∠CDE, 所以△ADF≌△CDE,所以AF=CE. (2)若AC=EF,则四边形AFCE是矩形. 由(1)知AFCE, 所以四边形AFCE是平行四边形. 又因为AC=EF,所以四边形AFCE是矩形. 【加固训练】如图,在△ABC中,点D是AC的中点,点E是BC延长线上一点,过A作AH∥BE.连接ED并延长交AB于点F,交AH于点H.如果AB=4AF,EH=8,求DF的长. 【解析】因为AH∥BE,所以=. 因为AB=4AF,所以=. 因为HE=8,所以HF=2. 因为AH∥BE,所以=. 因为D是AC的中点,所以=1. 因为HE=HD+DE=8,所以HD=4, 所以DF=HD-HF=4-2=2. 5.已知,如图,在矩形ABCD中,点G为BC延长线上一点,连接DG,过点B作BH⊥DG于点H,且GH=DH,点E,F分别在AB,BC上,且EF∥DG. (1)若AD=3,CG=2,求DG的长. (2)若GF=AD+BF,求证:EF=DG. 【解析】(1)在△BHG与△DCG中, 因为∠BGH=∠DGC,BH⊥DG,DC⊥BG, 所以△BHG∽△DCG, 所以=, 因为AD=3,CG=2,所以BG=5, 因为GH=DH,即=, 所以DG=2,即DG的长为2. (2)因为GF=AD+BF, 所以FC+GC=BF+FC+BF,即GC=2BF, 因为EF∥DG, 所以∠BFE=∠CGD, 所以Rt△BEF∽Rt△CDG, 所以EF∶DG=BF∶GC=1∶2,所以EF=DG. 【加固训练】如图,在正方形ABCD中,点E为AB的中点,BF⊥CE于点F,求 S△BFC∶S正方形ABCD的值. 【解析】设正方形ABCD的边长为2a, 因为E是AB的中点,所以BE=a, 所以CE==a, 因为BF⊥CE,所以∠EBC=∠BFC=90°, 因为∠ECB=∠BCF, 所以△BCF∽△ECB. 因为BC∶EC=2∶. 所以S△BFC∶S ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
