7．2.3　同角三角函数的基本关系式 导学案（含答案）

7．2.3　同角三角函数的基本关系式 【课程标准】　理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 知识点一　同角三角函数的基本关系 1．平方关系：sin2α＋cos2α＝_____． 商数关系：＝_____(α≠kπ＋，k∈Z)． 2．语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的_____等于1，_____等于角α的正切． 【学霸笔记】　 (1)“同角”一词的含义：一是“角相同”，如sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215°＋cos215°＝1，sin2＋cos2＝1等． (2)sin2α是(sinα)2的简写． 知识点二　同角三角函数基本关系式的变形 1．平方关系式的变形 sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1±2sinα·cos α＝(sin α±cos α)2. 2．商数关系式的变形 sin α＝cos α·tan α，cos α＝. 基 础 自 测 1．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝(　　) A．－ B．－ C． D． 2．已知sin α＝，则sin4α－cos4α＝(　　) A．－ B．－ C． D． 3．已知2cos2θ＋3sinθ＝0，θ∈(－)，则cos θ＝(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 4．如果tan α＝1，那么＝_____． 5．已知＝2，则tanθ＝_____． 题型1应用同角三角函数关系求值 例1(1)若sin α＝－，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值； (2)若cos α＝，求tan α的值； (3)若tan α＝－，求sin α的值． 总结　对(1)中明确α是第三象限角，所以只有一种结果．对(2)，(3)中未指出角α所在象限的情况，需按α所在象限讨论，分类求解，一般有两种结果． 总结 同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负． 跟踪训练1　(1)若sin α＝－，且α为第三象限角，则tan α＝(　　) A．　　 B．－ C．　　 D．－ (2)已知角α的终边与单位圆的交点的横坐标为，则sin α＝_____． 题型2应用同角三角函数关系化简求值 例2(1)已知sin α＋cos α＝－，0<α<π. ①求sin αcos α的值； ②求sin α－cos α的值． (2)已知tan α＝2，求下列各式的值． ①； ②； ③2sin2α－sin αcos α＋cos2α. 总结　根据商数关系把齐次式的分子分母同时除以cos α的n次方，进行弦化切运算；若题目中没有分母，一般把分母化为1，再利用1＝sin2α＋cos2α转化． 总结 1．已知三角函数值之间的关系式求其他三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，是分析解决问题的突破口． 2．已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法 (1)已知tan α＝m，可以求或的值，将分子分母同除以cosα或cos2α，化成关于tanα的式子，从而达到求值的目的． (2)对于a sin2α＋b sinαcos α＋c cos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tanα的式子，从而可以求值． (3)齐次式的化切求值问题，体现了数学运算的核心素养． 跟踪训练2　(1)若sin α＋3cos α＝0，则＝_____； (2)已知tan α＝，求下列各式的值： ①； ②. 题型3应用同角三角函数关系化简 例3化简求值： (1)； (2)； (3). 总结 解答此类题目常用的方法有： (1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 跟踪训练3　 ... ...