2.1 平均变化率与瞬时变化率 导学案（含答案）

§1　平均变化率与瞬时变化率 最新课程标准 学科核心素养 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程． 2．了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想． 3．体会极限思想． 1.了解平均变化率、瞬时变化率．(数学抽象) 2．会求平均变化率．(数学运算) 3．会求函数在某点处的瞬时变化率．(数学运算) 导学 [教材要点] 要点一　平均变化率 对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为_____．通常我们把自变量的变化_____称作自变量x的_____，记作_____，函数值的变化_____称作函数值y的_____，记作_____．这样，函数的平均变化率就可以表示为_____的改变量与_____的改变量之比，即＝_____．我们用它来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的_____． 总结　函数的平均变化率可正可负，反映函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快． 要点二　瞬时变化率 对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0), 则函数的平均变化率是＝_____＝_____． 当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在_____的瞬时变化率．瞬时变化率刻画的是函数在_____变化的快慢． 总结　平均速度和瞬时速度都是反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况．平均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值，而瞬时速度是运动物体在某一时刻的速度，当一个时间段趋于0时的平均速度就是瞬时速度． [练习] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)Δx趋近于0表示Δx＝0.(　　) (2)平均速度与瞬时速度有可能相等．(　　) (3)平均变化率是刻画某函数在某区间上变化快慢的物理量．(　　) (4)一物体的运动方程是S＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是at0.(　　) 2．质点运动规律s(t)＝t2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为(　　) A．6.3 B．36.3 C．3.3 D．9.3 3．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为(　　) A．6 B．18 C．54 D．81 4．函数f(x)＝8x－6在区间[m，n]上的平均变化率为_____． 导思 题型一　求函数的平均变化率 例1　已知函数f(x)＝2x2＋1， (1)求函数f(x)在[2，2.01]上的平均变化率； (2)求函数f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率． 总结 1．求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1. 第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－ . 2．求平均变化率的一个关注点 求点x0附近的平均变化率，可用的形式． 跟踪训练1　函数y＝x2＋1在[1，1＋Δx]上的平均变化率是(　　) A．2 B．2x C．2＋Δx D．2＋(Δx)2 题型二　平均变化率的实际应用 例2　甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试比较两人的速度哪个快？ 总结 平均变化率的意义 1．本题中比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过比较平均变化率的大小关系得出结论． 2．平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢． 跟踪训练2　某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s(单位：个)与时间t(单位：天)的关系如图所示，则接近t0天时，下列结论中正确的是(　　) A．甲的日生产量大于乙的日生产量 B．甲的日生产量小于乙的日生产量 C．甲的日生产量等于乙的日生产量 D．无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小 题型三　运动物体的平均速度与瞬时速度 例3　已知s(t)＝5t2， (1)求t从3秒到3.01秒的平均速度； (2)求t＝3秒时的瞬时速度． 总结 求函数f(x) ... ...