2.5　简单复合函数的求导法则 导学案（含答案）

§5　简单复合函数的求导法则 最新课程标准 学科核心素养 能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数． 1.了解复合函数的概念．(数学抽象) 2．利用复合函数的求导法则会求简单复合函数的导数．(数学运算) 3．利用复合函数的求导法则会解决与曲线的切线有关的问题．(数学运算) 导学 [教材要点] 要点一　复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成_____，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的_____，记作_____，其中u为中间变量． 要点二　复合函数的求导法则 复合函数y＝f(φ(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝φ(x)的导数间的关系为yx′＝_____．即y对x的导数是_____． 总结　(1)复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数． (2)中学阶段不涉及较复杂的复合函数的求导问题，只研究y＝f(ax＋b)型复合函数的求导，不难得到y ′＝(ax＋b) ′·f ′(ax＋b)＝af ′(ax＋b)． [练习] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y＝log3(x＋1)是由y＝log3t及t＝x＋1两个函数复合而成的．(　　) (2)函数f(x)＝的导数是f′(x)＝.(　　) (3)函数f(x)＝ln (1－x)的导数是f′(x)＝.(　　) (4)函数f(x)＝sin 2x的导数是f′(x)＝2 cos 2x.(　　) 2．(多选题)下列所给函数为复合函数的是(　　) A．y＝ln (x－2)　　　　　 B．y＝ln x＋x－2 C．y＝(x－2)ln x D．y＝ln 2x 3．若函数f(x)＝3cos ，则f′等于(　　) A．－3 B．3 C．－6 D．6 4．曲线y＝在点(0，1)的切线方程为_____． 导思 题型一　求复合函数的导数 例1　求下列函数的导数 (1)y＝； (2)y＝cos (2 021x＋8)； (3)y＝e1-3x； (4)y＝ln (2x－6)． 总结 复合函数求导的步骤 跟踪训练1　(1)y＝(2x－1)4； (2)y＝； (3)y＝sin ； (4)y＝102x+3. 题型二　复合函数的导数与曲线的切线问题 例2　(1)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是_____． (2)已知函数f(x)＝ax2＋2ln (2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝相切，则实数a的值为_____． 总结 准确利用复合函数求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． 跟踪训练2　 (1)设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝_____． (2)已知函数f(x)＝ax2＋2ln (2－x)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，则切线l的方程为_____；若直线l与圆 C：x2＋y2＝相交，则实数u的取值范围为 _____． 题型三　复合函数的导数在实际问题中的应用 例3　某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)＝3sin (0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义． 总结 将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况． 跟踪训练3　放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M(60)＝(　　) A．5太贝克 B．75ln 2太贝克 C．150ln 2 太贝克 D．150太贝克 易错辨析　对复合函数求导不完全致错 例4　函数y＝xe1-2x的导数y′＝_____． 解析：y′＝e1-2x＋x(e1-2x)′ ＝e1-2x＋xe1-2x·(1－2x)′ ＝e1-2x＋xe1-2x(－2) ＝(1－2x)e1-2x. 答案：(1－2x)e1-2x 【易错点】 出错原因 纠错心得 对e1-2x的求导没有按照 ... ...