2025学年第一学期摸底诊断 高二数学试卷 一、填空题(本大题满分54分,1-6题每题4分,7-12题每题5分) 1.复数的虚部是_____. 2.函数在上的值域为_____. 3.圆柱的底面半径为高为则其体积为_____. 4.已知，则_____. 5.已知正四面体棱长为则与平面所成角的余弦值为_____. 6.中,为边中点,，则_____(用表示) 7.已知恒成立,则范围为_____. 8已知圆锥的底面半径为，母线长为过该圆锥的顶点作圆锥的截面,则截面面积的最大值为_____. 9.的值域为，则实数取值范围是_____. 10.已知二面角为,是半平面内一点,点到平面的距离是,则点在平面内的投影到的距离是_____. 11.如图所示,在棱长为2的正方体中,为棱的中点,点分别为面和线段上的动点,则周长的最小值为_____. 12.如图，已知矩形的边，点分别在上，且，则的最小值为_____. 二、选择题(本大题满分18分13、14题各4分,15、16题各5分) 13.已知关于的实系数一元二次方程在复数集中的两个根是,下列结论中恒成立的是( ). A.和互为共轭复数 B. C. D 14.在中,内角的对边分别为,下列说法中正确的是( ) A.若,则为等腰三角形 B.若,则解的个数为2 C.若为锐角三角形,则. D.若,则 15.如图,正方体中,分别为棱的中点,连接,对空间任意两点,若线段与线段都不相交,则称两点可视,下列选项中与点可视的为( ) A.点 B.点 C.点 D.点 16.在平面直角坐标系中,已知任意角以坐标原点为顶点,轴的非负半轴为始边,若终边经过点,且,定义,称“正余弦函数”,对于“正余弦函数”,有同学得到以下性质: ①该函数的值域为；②该函数为奇函数；③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数,且最小正周期为.其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 三、解答题(本大题满分78分) 17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题6分,第2小题8分. 已知向量. (1)若与的夹角为,求实数的值: (2)若,求向量在向量上的投影向量.(结果写成坐标形式) 18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题7分,第2小题7分. 如图,在正四棱柱中,. (1)求与底面所成角； (2)求点到平面的距离. 19.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题3分,第2小题5分,第3小题8分. 已知数 (1)写出的单调增区间. (2)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围； (3)将的图象先向左平移个单位,再将各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象.若关于的方程在上有且只有一个实数解,求实数的取值范围. 20.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题6分,第2小题4分,第3小题6分. 如图,已知等腰梯形中,,,是的中点,,将沿着翻折成,使平面. (1)求证:平面平面； (2)求二面角的大小； (3)在线段上是否存在点,使得平面,若存在,求的长； 若不存在,说明理由. 21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分. 设为给定的实常数,若函数在其定义域内存在实数,使得成立,则称函数为“函数”. (1)若函数为“函数”,求实数的值； (2)若函数为“函数”,求实数的取值范围； (3)已知为“函数”,设.若对任意的,当时,都有成立,求实数的最大值. 2025学年第一学期摸底诊断 高二数学试卷 一、填空题(本大题满分54分,1-6题每题4分,7-12题每题5分) 1.复数的虚部是_____. 解析： 所以虚部为 2.函数在上的值域为_____. 解析：函数在单调递增，在单调递减， 所以在上的值域为 3.圆柱的底面半径为高为则其体积为_____. 解析： 4.已知，则_____. 解析： 5.已知正四面体棱长为则与平面所成角的余弦值为_____. 解析：如图 6.中,为边中点,，则_____(用表示) 解析： 7.已知恒成立,则范围为_____. 解析： 8已知圆锥的底面半径为，母线长为过该圆锥的顶点作圆锥的截面,则截面面积的最大值为_____. 解析： 9.的值域为，则实数取值范围是_____. 解析： 因为的值域为 所以 10.已知二面角为,是半平面内一 ... ...
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