江苏省南京市第十三中学2026届高三上学期零模冲刺训练数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，则的虚部为( ) A. B. C. D. 2.已知集合，集合，则下列各选项中属于的元素是( ) A. B. C. D. 3.在平面直角坐标系中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为( ) A. B. C. D. 4.已知函数的部分图象如图所示，若，则( ) A. B. C. D. 5.世纪美国天文学家西蒙纽康和物理学家本福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本福特定律，即在大量进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若说明符号，则的值为( ) A. B. C. D. 6.设是公差不为的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.已知圆上恰有两个点到直线的距离为，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.已知函数，则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，则 ． A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为 10.设函数，则( ) A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在，，使得为曲线的对称轴 D. 存在，使得点为曲线的对称中心 11.已知三角形三个内角分别为，，，且满足，则下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为 ． 13.已知向量，若向量在向量上的投影向量为，则 ． 14.一个被染满颜料的蚂蚱从数轴上的原点开始跳动，每次跳跃有等可能的概率向左或向右跳动个单位长度，蚂蚱所在的点会留下颜色，则蚂蚱跳动次后染上颜色的点数个数的期望 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 为了了解高中学生课后自主学习数学时间分钟每天和他们的数学成绩分的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据如下表： 编号 若该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，求关于的回归直线方程．参考数据： 基于上述调查，某校提倡学生课后自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了位学生．按照参与课后自主学习与成绩进步情况得到如下列联表： 成绩没有进步 成绩有进步 合计 参与课后自主学习 未参与课后自主学习 合计 依据的独立性检验，分析“课后自主学习与成绩进步”是否有关． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， ，其中． 16.本小题分 已知正项数列的前项之积为，且． 求证：数列是等差数列； 设，求的前项和． 17.本小题分 如图，在四棱锥中，是正三角形，． 求证：平面平面； 设，若点均在球的球面上且点在平面内． 求四棱锥的体积； 求平面与平面的夹角的余弦值． 18.本小题分 已知抛物线的焦点为为坐标原点，上存在点到和的距离都等于． 求抛物线的方程； 过点的直线交抛物线于点，直线与相交于另一点，直线与相交于另一点． 求证：； 求证：直线经过定点． 19.本小题分 已知函数． 当时，求证：函数有唯一极值点； 当时，求在区间上的零点个数； 两函数图像在公共点处的公切线称为“合一切线”若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求的值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. ... ...
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