10.1平方根和立方根 【知识点1】计算器—数的开方 1 【知识点2】平方根 2 【知识点3】非负数的性质：算术平方根 3 【知识点4】立方根 4 【知识点5】算术平方根 5 【题型1】平方根的性质 6 【题型2】算术平方根的非负性 8 【题型3】平方根的定义 10 【题型4】算术平方根的应用 11 【题型5】立方根的实际应用 13 【题型6】立方根的定义与性质 14 【题型7】利用平方根求未知数的值 15 【题型8】利用计算器开立方 16 【题型9】利用立方根求未知数的值 18 【题型10】算术平方根有意义的条件 20 【题型11】利用计算器开平方 21 【题型12】立方根与平方根的综合 24 【题型13】算术平方根的定义 26 【知识点1】计算器—数的开方 正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是： 当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍． 1.（2024秋 龙口市期末）用如图所示的计算器求的值，以下按键顺序不能求出正确结果的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据计算器的运算方法和开方注意判定各项即可． 【解答】A选项先按，再输入2，再输入，最后按=，可以求出结果． B选项先按，再输入2，再按÷，最后按7和=，计算的是，不能求出结果． C选项先按，再按（，再输入2，再输入，最后按）和=，可以求出结果． D选项先按√，再按（，再输入2，再按÷，最后按7和）和=，可以求出结果． 故选：B． 【知识点2】平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 1.（2025春 临湘市期末）“的平方根是”，用式子表示就是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据平方根的定义和性质解答即可． 【解答】解：±=±． 故选：B． 2.（2025 陇南模拟）64的平方根是（ ） A．±4 B．4 C．±8 D．8 【答案】C 【分析】±8的平方都等于64，可得64的平方根是±8． 【解答】解：∵±8的平方都等于64； ∴64的平方根是±8． 故选：C． 【知识点3】非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 1.（2024春 武城县校级期中）若m,n满足+|n-1|=0，则（m+n）2的平方根为（ ） A．4 B．±4 C．8 D．±8 【答案】B 【分析】根据非负数的性质求出m、n的值，然后根据平方根的定义计算即可． 【解答】解：∵+|n-1|=0， 又∵，|n-1|≥0， ∴m-3=0，n-1=0， ∴m=3，n=1， ∴（m+n）2=（3+1）2=16， ∵16的平方根是±4， ∴（m+n）2的平方根为±4， 故选：B． 2.（2025春 河北区期中）已知非零实数a,b满足，则a+b等于（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件得到a≥3，根据非负数的性质分别求出a、b,根据有理数的加法法则计算，得到答案． 【解答】解：由题意得，a-3≥0， 解得，a≥3， 则a-2+|b+1|+=a-2， 整理得，|b+1|+=0， 则b+1=0，a-3=0， 解得，b=-1，a=3， 则a+b=2， 故选：D． 【 ... ...
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